第一题：（15 分）求经过三平行直线 $L_{1}: x=y=z, ~ L_{2}: x-1=y=z+1$ ， $L_{3}: x=y+1=z-1$ 的圆柱面的方程．

【参考解析】：先求圆柱面的轴 $\boldsymbol{L}_{\mathbf{0}}$ 的方程．由已知条件易知，圆柱面母线的方向是 $\vec{n}=(1,1,1)$ ，且圆柱面经过点 $O(0,0,0)$ ，过点 $O(0,0,0)$ 且垂直于 $\vec{n}=(1,1,1)$ 的平面 $\pi$ 的方程为：$x+y+z=0 . \pi$ 与三已知直线的交点分别为

$$
O(0,0,0), P(1,0,-1), Q(0,-1,1) \text { 。 }
$$

圆柱面的轴 $L_{0}$ 是到这三点等距离的点的轨迹，即

$$
\left\{\begin{array}{l}
x^{2}+y^{2}+z^{2}=(x-1)^{2}+y^{2}+(z+1)^{2} \\
x^{2}+y^{2}+z^{2}=x^{2}+(y+1)^{2}+(z-1)^{2}
\end{array}\right.
$$

即 $\left\{\begin{array}{l}x-z=1 \\ y-z=-1\end{array}\right.$ 。将 $L_{0}$ 的方程改为标准方程 $x-1=y+1=z$ 。圆柱面的半径即为平行直线 $x=y=z$ 和 $x-1=y+1=z$ 间的距离．$P_{0}(1,-1,0)$ 为 $L_{0}$ 上的点。对圆柱面上任意一点 $S(x, y, z)$ ，有 $\frac{\left|\vec{n} \times \overrightarrow{P_{0} S}\right|}{|\vec{n}|}=\frac{\left|\vec{n} \times \overrightarrow{P_{0} O}\right|}{|\vec{n}|}$ ，即

$$
(-y+z-1)^{2}+(x-z-1)^{2}+(-x+y+2)^{2}=6
$$

所以，所求圆柱面的方程为：

$$
x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y-x z-y z-3 x+3 y=0
$$