六、（13 分）已知两直线的方程：$L: x=y=z, L^{\prime}: \frac{x}{1}=\frac{y}{a}=\frac{z-b}{1}$ ．
（1）问：参数 $a, b$ 满足什么条件时，$L$ 与 $L^{\prime}$ 是异面直线？
（2）当 $L$ 与 $L^{\prime}$ 不重合时，求 $L^{\prime}$ 绕 $L$ 旋转所生成的旋转面 $\pi$ 的方程，并指出曲面 $\pi$ 的类型．

【参考解答】：（1）$L, L^{\prime}$ 的方向向量分别为

$$
\vec{n}=(1,1,1), \overrightarrow{n^{\prime}}=(1, a, 1)
$$

分别取 $L, L^{\prime}$ 上的点 $O(0,0,0), P(0,0, b) . L$ 与 $L^{\prime}$ 是异面直线当且仅当矢量 $\vec{n}, \overrightarrow{n^{\prime}}, \overrightarrow{O P}$ 不共面，即它们的混合积不为零：

$$
\left(\vec{n}, \overrightarrow{n^{\prime}}, \overrightarrow{O P}\right)=\left|\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
1 & a & 1 \\
0 & 0 & b
\end{array}\right|=(a-1) b \neq 0
$$

所以，$L$ 与 $L^{\prime}$ 是异面直线当且仅当 $a \neq 1$ 且 $b \neq 0$ ．
（2）假设 $\boldsymbol{P}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, z)$ 是 $\pi$ 上任一点，于是 $\boldsymbol{P}$ 必定是 $\boldsymbol{L}^{\prime}$ 上一点 $\boldsymbol{P}^{\prime}\left(\boldsymbol{x}^{\prime}, \boldsymbol{y}^{\prime}, z^{\prime}\right)$ 绕 $\boldsymbol{L}$ 旋转所生成的。由于 $\overrightarrow{\boldsymbol{P}^{\prime} \boldsymbol{P}}$ 与 $L$ 垂直，所以，$\quad\left(x-x^{\prime}\right)+\left(y-y^{\prime}\right)+\left(z-z^{\prime}\right)=0 \quad$（1）
又由于 $P^{\prime}$ 在 $L^{\prime}$ 上，所以，$\frac{x^{\prime}}{1}=\frac{y^{\prime}}{a}=\frac{z^{\prime}-b}{1}$ ，（2）
因为 $L$ 经过坐标原点，所以，$P, P^{\prime}$ 到原点的距离相等，故，

$$
x^{2}+y^{2}+z^{2}=x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}
$$

将（1），（2），（3）联立，消去其中的 $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ ：
令 $\frac{x^{\prime}}{1}=\frac{y^{\prime}}{a}=\frac{z^{\prime}-b}{1}=t$ ，将 $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ 用 $t$ 表示：

$$
x^{\prime}=t, y^{\prime}=a t, z^{\prime}=t+b
$$

将（4）代入（1），得

$$
(a+2) t=x+y+z-b
$$

当 $a \neq-2$ ，即 $L$ 与 $L^{\prime}$ 不垂直时，解得

$$
t=\frac{1}{a+2}(x+y+z-b)
$$

据此，再将（4）代入（3），得到 $\pi$ 的方程：

$$
\begin{aligned}
x^{2}+y^{2}+z^{2}- & \frac{a^{2}+2}{(a+2)^{2}}(x+y+z-b)^{2} \\
& -\frac{2 b}{a+2}(x+y+z-b)-b^{2}=0
\end{aligned}
$$

当 $a=-2$ 时，由（5）得，$x+y+z=b$ ，这表明，$\pi$ 在这个平面上．同时，将（4）代入（3），有

$$
x^{2}+y^{2}+z^{2}=6 t^{2}+2 b t+b^{2}=6\left(t+\frac{1}{6} b\right)^{2}+\frac{5}{6} b^{2}
$$

由于 $t$ 可以是任意的，所以，这时，$\pi$ 的方程为：

$$
\left\{\begin{aligned}
x+y+z & =b \\
x^{2}+y^{2}+z^{2} & \geq \frac{5}{6} b^{2}
\end{aligned}\right.
$$

$\pi$ 的类型：$a=1$ 且 $b \neq 0$ 时，$L$ 与 $L^{\prime}$ 平行，$\pi$ 是一柱面；$a \neq 1$ 且 $b=0$ 时，$L$ 与 $L^{\prime}$ 相交，$\pi$ 是一锥面（ $a=-2$ 时 $\pi$ 是平面）；当 $a \neq 1$ 且 $b \neq 0$ 时，$\pi$ 是单叶双曲面（ $a=-2$ 时，$\pi$ 是去掉一个圆