七、（20 分）设 $A, B$ 均为 $n$ 阶半正定实对称矩阵，且满足 $n-1 \leq \operatorname{rank} A \leq n$ ．证明存在实可逆矩阵 $C$ 使得 $C^{T} A C, ~ C^{T} B C$ 均为对角阵。

【参考证明】：（1）$A$ 的秩为 $n$ 的情形：此时，$A$ 为正定阵。于是存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{T} A P=E$ 。因为 $P^{T} B P$ 是实对称矩阵，所以存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^{T}\left(P^{T} B P\right) Q=\Lambda$ 是对角矩阵。令 $C=P Q$ ，则有 $C^{T} A C=E, C^{T} B C=\Lambda$ 都是对角阵。
（2） $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $\boldsymbol{n - 1}$ 的情形：此时，存在实可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 使得 $\boldsymbol{P}^{T} \boldsymbol{A P}=\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{E}_{n-1} & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ．因为 $\boldsymbol{P}^{T} \boldsymbol{B P}$是实对称矩阵，所以，可以假定 $P^{T} B P=\left(\begin{array}{cc}B_{n-1} & \alpha \\ \alpha^{T} & b\end{array}\right)$ ，其中 $B_{n-1}$ 是 $n-1$ 阶实对称矩阵．

因为 $B_{n-1}$ 是 $n-1$ 阶实对称矩阵，所以存在 $n-1$ 阶正交矩阵 $Q_{n-1}$ ，使得

$$
Q_{n-1}^{T} B_{n-1} Q_{n-1}=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda_{1} & 0 & 0 \\
0 & \ddots & 0 \\
0 & 0 & \lambda_{n}
\end{array}\right)=\Lambda_{n-1}
$$

为对角阵．令 $Q=\left(\begin{array}{ll}Q_{n-1} & \\ & 1\end{array}\right), C=P Q$ ，则 $C^{T} A C, C^{T} B C$ 可以表示为

$$
C^{T} A C=\left(\begin{array}{ll}
E_{n-1} & \\
& 0
\end{array}\right), C^{T} B C=\left(\begin{array}{cc}
\Lambda_{n-1} & \eta \\
\eta^{T} & d
\end{array}\right)
$$

其中 $\eta=\left(d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{n-1}\right)^{T}$ 是 $n-1$ 维列向量。
为简化记号，不妨假定

$$
A=\left(\begin{array}{ll}
E_{n-1} & \\
& 0
\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}
\Lambda_{n-1} & \eta \\
\eta^{T} & d
\end{array}\right) .
$$

如果 $\mathrm{d}=0$ ，由于 $B$ 是半正定的，$B$ 的各个主子式均 $\geq 0$ 。考虑 $B$ 的含 d 的各个 2 阶主子式，容易知道， $\boldsymbol{\eta}=\mathbf{0}$ 。此时 $\boldsymbol{B}$ 已经是对角阵了，如所需。

现假设 $\mathrm{d} \neq 0$ 。显然，对于任意实数 $k, ~ A, B$ 可以通过合同变换同时化成对角阵当且仅当同一合同变换可以将 $A, ~ k A+B$ 同时化成对角阵。由于 $k \geq 0$ 时，$k A+B$ 仍然是半正定矩阵，由（1），我们只需要证明：存在 $k \geq 0, ~ k A+B$ 是可逆矩阵即可．

注意到，当 $k+\lambda_{i}$ 都不是 0 时，行列式

$$
\begin{aligned}
|k A+B| & =\left|\begin{array}{cccc}
k+\lambda_{1} & & & d_{1} \\
& \ddots & & \vdots \\
& & k+\lambda_{n-1} & d_{n-1} \\
d_{1} & \ldots & d_{n-1} & d
\end{array}\right| \\
& =\left(d-\sum_{i=1}^{n-1} \frac{d_{i}^{2}}{k+\lambda_{i}}\right) \prod_{j=1}^{n-1}\left(k+\lambda_{i}\right)
\end{aligned}
$$

故只要 $k$ 足够大就能保证 $k A+B$ 是可逆矩阵。从而 $A, B$ 可以通过合同变换同时化成对角阵．