一、（本题共 10 分）设 $\varepsilon \in(0,1), ~ x_{0}=a, ~ x_{n+1}=a+\varepsilon \sin x_{n}(n=0,1,2 \cdots)$ ．
证明 $\xi=\lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}$ 存在，且 $\xi$ 为方程 $x-\varepsilon \sin x=a$ 的唯一根．

【证明】：注意到 $\left|(\sin x)^{\prime}\right|=|\cos x| \leq 1$ ，由中值定理，有

$$
|\sin x-\sin y| \leq|x-y|, \forall x, y \in R
$$

所以

$$
\left|x_{n+2}-x_{n+1}\right|=\left|\varepsilon\left(\sin x_{n+1}-\sin x_{n}\right)\right| \leq \varepsilon\left|x_{n+1}-x_{n}\right|, n=0,1,2, \cdots
$$

从而可得

$$
\left|x_{n+1}-x_{n}\right| \leq \varepsilon^{n}\left|x_{1}-x_{0}\right|, \forall n=0,1,2, \cdots
$$

于是级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\left(x_{n+1}-x_{n}\right)$ 绝对收敛，从而 $\xi=\lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}$ 极限存在。
对于递推式 $x_{n+1}=a+\varepsilon \sin x_{n}$ 两边取极限即得 $\xi$ 为 $x-\varepsilon \sin x=a$ 的根。
进一步，设 $\eta$ 也为 $x-\varepsilon \sin x=a$ 的根，则

$$
|\xi-\eta|=\varepsilon|\sin \xi-\sin \eta| \leq \varepsilon|\xi-\eta|
$$

所以由 $\varepsilon \in(0,1)$ 可得 $\eta=\xi$ ，即 $x-\varepsilon \sin x=a$ 的根唯一。