【证明】：反证法．设方程有解，即存在复矩阵 $A$ 使得 $A^{2}=B$ ．注意到 $B$ 的特征根为 0 ，且其代数重根为 3 。
设 $\lambda$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征根，则 $\boldsymbol{\lambda}^{2}$ 为 $\boldsymbol{B}$ 的特征根，所以 $\boldsymbol{\lambda}=\mathbf{0}$ ．从而 $\boldsymbol{A}$ 的特征根为 0 ．于是 $\boldsymbol{A}$ 的 Jordan 标准型只可能为
$$
J_{1}=\left(\begin{array}{lll}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right), J_{2}=\left(\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right), J_{3}=\left(\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$$
从而 $A^{2}$ 的 Jordan 标准型只能为 $J_{1}=J_{1}^{2}=J_{2}^{2}$ 或 $J_{2}=J_{3}^{2}$ ．因此 $A^{2}$ 的秩不大于 1 ，与 $B=A^{2}$ 的秩为 2 矛盾．所以 $X^{2}=B$ 无解．