第二题：（20 分）设 $C^{n \times n}$ 是 $n \times n$ 复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域 $C$ 上的线性空间，

$$
F=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & \vdots & 0 & -a_{n} \\
1 & 0 & \vdots & 0 & -a_{n-1} \\
0 & 1 & \vdots & 0 & -a_{n-2} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \vdots & 1 & -a_{1}
\end{array}\right) .
$$

（1）假设 $A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right)$ ，若 $A F=F A$ ，证明：

$$
A=a_{n 1} F^{n-1}+a_{n-11} F^{n-2}+\cdots+a_{21} F+a_{11} E ;
$$

（2）求 $C^{n \times n}$ 的子空间 $C(F)=\left\{X \in C^{n \times n} \mid F X=X F\right\}$ 的维数．

【参考解析】：（1）的证明：记

$$
A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right), M=a_{n 1} F^{n-1}+a_{n-11} F^{n-2}+\cdots+a_{21} F+a_{11} E .
$$

要证明 $M=A$ ，只需证明 $A$ 与 $M$ 的各个列向量对应相等即可．若以 $e_{i}$ 记第 $i$ 个基本单位列向量。于是，只需证明：对每个 $i, ~ M e_{i}=A e_{i}\left(=\alpha_{i}\right)$ 。

记 $\beta=\left(-a_{n},-a_{n-1}, \cdots,-a_{1}\right)^{T}$ ，则 $F=\left(e_{2}, e_{3}, \cdots, e_{n}, \beta\right)$ 。注意到，

$$
\begin{aligned}
& F e_{1}=e_{2}, F^{2} e_{1}=F e_{2}=e_{3}, \cdots, \\
& F^{n-1} e_{1}=F\left(F^{n-2} e_{1}\right)=F e_{n-1}=e_{n}
\end{aligned}
$$

由

$$
\begin{aligned}
M e_{1} & =\left(a_{n 1} F^{n-1}+a_{n-11} F^{n-2}+\cdots+a_{21} F+a_{11} E\right) e_{1} \\
= & a_{n 1} F^{n-1} e_{1}+a_{n-11} F^{n-2} e_{1}+\cdots+a_{21} F e_{1}+a_{11} E e_{1} \\
= & a_{n 1} e_{n}+a_{n-11} e_{n-1}+\cdots+a_{21} e_{2}+a_{11} e_{1} \\
= & \alpha_{1}=A e_{1}
\end{aligned}
$$

知 $M e_{2}=M F e_{1}=F M e_{1}=F A e_{1}=A F e_{1}=A e_{2}$ ．
$M e_{3}=M F^{2} e_{1}=F^{2} M e_{1}=F^{2} A e_{1}=A F^{2} e_{1}=A e_{3}$

$$
M e_{n}=M F^{n-1} e_{1}=F^{n-1} M e_{1}=F^{n-1} A e_{1}=A F^{n-1} e_{1}=A e_{n}
$$

所以，$M=A$ ．
（2）解：由（1），$C(F)=\operatorname{span}\left\{E, F, F^{2}, \cdots, F^{n-1}\right\}$ ，设 $x_{0} E+x_{1} F+x_{2} F^{2}+\cdots+x_{n-1} F^{n-1}=O$ ，等式两边同右乘 $e_{1}$ ，利用（＊）得

$$
\begin{aligned}
\theta & =O e_{1}=\left(x_{0} E+x_{1} F+x_{2} F^{2}+\cdots+x_{n-1} F^{n-1}\right) e_{1} \\
& =x_{0} E e_{1}+x_{1} F e_{1}+x_{2} F^{2} e_{1}+\cdots+x_{n-1} F^{n-1} e_{1} \\
& =x_{0} e_{1}+x_{1} e_{2}+x_{2} e_{3}+\cdots+x_{n-1} e_{n}
\end{aligned}
$$

因 $e_{1}, e_{2}, e_{3}, \cdots, e_{n}$ 线性无关，故

$$
x_{0}=x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n-1}=0
$$

所以，$E, F, F^{2}, \cdots, F^{n-1}$ 线性无关。
因此，$E, F, F^{2}, \cdots, F^{n-1}$ 是 $C(F)$ 的基，特别地， $\operatorname{dim} C(F)=n$ 。