第四题：（10 分）设 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 是定义在 $[a, b]$ 上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在 $[a, b]$上满足 $\left|f_{n}^{\prime}(x)\right| \leq M$ ．
（1）证明 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛；
（2）设 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)$ ，问 $f(x)$ 是否一定在 $[a, b]$ 上处处可导，为什么？

【参考解析】：（1）$\forall \varepsilon>0$ ，将 $[a, b] K$ 等分，分点为

$$
x_{j}=a+\frac{j(b-a)}{K}, j=0,1,2, \cdots, K
$$

使得 $\frac{b-a}{K}<\varepsilon$ 。由于 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在有限个点 $\left\{x_{j}\right\}, j=0,1,2, \cdots, K$ 上收玫，因此 $\exists N$ ， $\forall m>n>N$ ，使得 $\left|f_{m}\left(x_{j}\right)-f_{n}\left(x_{j}\right)\right|<\varepsilon$ 对每个 $j=0,1,2, \cdots, K$ 成立．

于是 $\forall x \in[a, b]$ ，设 $x \in\left[x_{j}, x_{j+1}\right]$ ，则

$$
\begin{aligned}
& \left|f_{m}(x)-f_{n}(x)\right| \leq\left|f_{m}(x)-f_{m}\left(x_{j}\right)\right|+\left|f_{m}\left(x_{j}\right)-f_{n}\left(x_{j}\right)\right|+\left|f_{n}\left(x_{j}\right)-f_{n}(x)\right| \\
& =\left|f_{m}^{\prime}(\xi)\left(x-x_{j}\right)\right|+\left|f_{m}\left(x_{j}\right)-f_{n}\left(x_{j}\right)\right|+\left|f_{n}^{\prime}(\eta)\left(x-x_{j}\right)\right| \\
& <(2 M+1) \varepsilon
\end{aligned}
$$

（2）不一定．令 $f_{n}(x)=\sqrt{x^{2}+\frac{1}{n}}$ ，则

$$
f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) \text { 在 }[a, b] \text { 上不能保证处处可导. }
$$