第七题：（15 分）假设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内二阶可导，过点 $A(0, f(0))$ ，与点 $B(1, f(1))$ 的直线与曲线 $y=f(x)$ 相交于点 $C(c, f(c))$ ，其中 $0<c<1$ ．证明：在 $(0,1)$内至少存在一点 $\xi$ ，使 $f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．

【参考解析】：因为 $f(x)$ 在 $[0, c]$ 上满足拉格朗日（Lagranger）中值定理的条件，故存在 $\xi_{1} \in(0, c)$ ，使 $f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=\frac{f(c)-f(0)}{c-0}$ ．由于 $c$ 在弦 $A B$ 上，故有

$$
\frac{f(c)-f(0)}{c-0}=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=f(1)-f(0)
$$

从而 $f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=f(\mathbf{1})-f(\mathbf{0})$ 。
同理可证，存在 $\xi_{2} \in(c, 1)$ ，使 $f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)=f(1)-f(0)$ ．由 $f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)$ ，知 在 $\left[\xi_{1}, \xi_{2}\right]$ 上 $f^{\prime}(x)$ 满足罗尔（Rolle）定理的条件，所以存在 $\xi \in\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right) \subset(0,1)$ ，使 $f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．