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解答题 |
（1）设 $\boldsymbol{A}$ 为实对称方阵，$(1,0,1)$ 和 $(1,2,0)$ 构成共行向量的一个极大无关组，则有 $\boldsymbol{A}=$ $\_\_\_\_$ |
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解答题 |
（2）设 $y(x) \in C^{1}[0,1)$ 满足 $y(x) \in[0, \pi]$ 及 $x=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin y(x)}{y(x)}, & y \in(0, \pi] \\ 1, & y=0\end{array}\right.$ ，则 $y^{\prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ |
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解答题 |
（3）设 $f(x)=\int_{x}^{+\infty} e^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ ，则 $\int_{0}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ |
| 4 |
解答题 |
（4）设 $U$ 为 8 阶实正交方阵，$U$ 中元素皆为 $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ 的 $3 \times 3$ 子矩阵的个数记为 $t$ ，则 $t$ 最多为
二、（本题 15 分）给定空间直角坐标系中的两条直线：$l_{1}$ 为 $z$ 轴，$l_{2}$ 过 $(-1,0,0)$ 及 $(0,1,1)$两点．动直线 $l$ 分别与 $l_{1}, l_{2}$ 共面，且与平面 $z=0$ 平行．
（1）求动直线 $l$ 全体构成的曲面 $S$ 的方程；
（2）确定 $\boldsymbol{S}$ 是什么曲面．
三、（满分 15 分）证明：任意 $n$ 阶实方阵 $A$ 可以分解成 $A=A_{0}+A_{1}+A_{2}$ ，其中 $A_{0}=a I_{n}, ~ a$ 是实数，$A_{1}$ 与 $A_{2}$ 都是幂零方阵。
四、（满分 20 分）设 $\alpha>0, f(x) \in C^{1}[0,1]$ ，且对任何非负整数，$n, f^{(n)}(0)$ 均存在且为零。进一步存在常数 $C>0$ 使得 $\left|x^{\alpha} f^{\prime}(x)\right| \leq C|f(x)|(\forall x \in[0,1])$ ．证明：
（1）若 $\alpha=1$ ，则 $[0,1]$ 在上 $f(x) \equiv 0$ ．
（2）若 $\alpha>1$ ，举例说明在 $[0,1]$ 上 $f(x) \equiv 0$ 可以不成立． |
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解答题 |
五、（满分15分）设 $c \in(0,1), x_{1} \in(0,1)$ 且 $x_{1} \neq c\left(1-x_{1}^{2}\right), x_{n+1}=c\left(1-x_{n}^{2}\right)(n \geq 1)$ ．证明：$\left\{x_{n}\right\}$ 收敛当且仅当 $c \in\left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$ 。 。 |
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解答题 |
六、（满分 15 分）已知 $a(x), b(x), c(x) \in C(R)$ ，方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=a(x) y^{2}+b(x) y+c(x)$ 只有有限个 $2 \pi$ 周期解．求它的 $2 \pi$ 周期解个数的最大值． |