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解答题 |
一、填空题（本题满分20分，每小题5分）
（1）设 $\boldsymbol{A}$ 为实对称方阵，$(1,0,1)$ 和 $(1,2,0)$ 构成共行向量的一个极大无关组．则有 $\boldsymbol{A}=$ $\_\_\_\_$ |
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解答题 |
（2）设 $y(x) \in C^{1}[0,1)$ 满足 $y(x) \in[0, \pi]$ 及 $x=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin y(x)}{y(x)}, & y \in(0, \pi] \\ 1, & y=0\end{array}\right.$ ，则 $y^{\prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ |
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解答题 |
（3）设 $f(x)=\int_{x}^{+\infty} e^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ ，则 $\int_{0}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ |
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解答题 |
（4）设 $U$ 为 8 阶实正交方阵，$U$ 中元素皆为 $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ 的 $3 \times 3$ 子矩阵的个数记为 $t$ ，则 $t$ 最多为
二、（本题15分）给定空间直角坐标系中的两条直线：$l_{1}$ 为 $z$ 轴，$l_{2}$ 过 $(-1,0,0)$ 及 $(0,1,1)$两点．动直线 $l$ 分别与 $l_{1}, l_{2}$ 共面，且与平面 $z=0$ 平行．
（1）求动直线 $l$ 全体构成的曲面 $S$ 的方程；
（2）确定 $\boldsymbol{S}$ 是什么曲面．
三、（满分 15 分）证明：任意 $n$ 阶实方阵 $A$ 可以分解成 $A=A_{0}+A_{1}+A_{2}$ ，其中 $A_{0}=a I_{n}, ~ a$ 是实数，$A_{1}$ 与 $A_{2}$ 都是幂零方阵。
四、（满分 20 分）设 $\alpha>0, f(x) \in C^{1}[0,1]$ ，且对任何非负整数，$n, f^{(n)}(0)$ 均存在且为
零．进一步存在常数 $C>0$ 使得 $\left|x^{\alpha} f^{\prime}(x)\right| \leq C|f(x)|(\forall x \in[0,1])$ ．证明：
（1）若 $\alpha=1$ ，则 $[0,1]$ 在上 $f(x) \equiv 0$ ．
（2）若 $\alpha>1$ ，举例说明在 $[0,1]$ 上 $f(x) \equiv 0$ 可以不成立． |
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解答题 |
五、（满分 10 分）（抽象代数）设 $(R,+, \cdot)$ 为含 $1 \neq 0$ 的结合环，$a, b \in R$ 。若 $a+b=b a$ ，且关于 $x$ 的方程
$$
\left\{\begin{array}{l}
x^{2}-\left(a x^{2}+x^{2} a\right)+a x^{2} a=1 \\
x+a-(a x+x a)+a x a=1
\end{array}\right.
$$
在 $\boldsymbol{R}$ 中有解．证明： $\boldsymbol{a b}=\boldsymbol{b a}$ ． |
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解答题 |
六、（满分 10 分）（实变函数）设 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 可测，则 $G=\{(x, f(x)) ; x \in \mathbb{R}\}$ 是 2 －维
Lebesgue 零测集． |
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解答题 |
八、（满分 10 分）设 $\delta: a=x_{0} |
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解答题 |
九、（满分 10 分）（复变函数）设 $z_{0}$ 是复函数 $w=f(z)$ 的 $n$ 阶极点．试证明：一定存在 $\rho>0$ 及 $R>0$ ，使得对任意 $w \in\{w \in \mathbb{C}:|w|>R\}$ ，函数 $f(z)-w$ 在 $\left|z-z_{0}\right|<\rho$中必有 $n$ 个零点． |
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解答题 |
十、（满分 10 分）（概率统计）设独立随机变量序列 $\left\{X_{n}, n \geq 1\right\}$ 满足 $P\left(X_{n}= \pm n^{\theta}\right)=\frac{1}{2}$ ，其中 $\theta>0$ 是常数．记 $S_{n}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}$ ．
（1）当 $\theta<\frac{1}{2}$ 时，证明 $\frac{S_{n}}{n}$ 依概率收敛于 0 ，即对任意 $\epsilon>0, \lim _{n \rightarrow \infty} P\left(\frac{\left|S_{n}\right|}{n} \geq \epsilon\right)=0$ ；
（2）证明：$\frac{S_{n}}{\sqrt{\operatorname{Var}\left(S_{n}\right)}} \xrightarrow{D} N(0,1)$ ，其中 $\operatorname{Var}\left(S_{n}\right)$ 是表示 $S_{n}$ 的方差，$\xrightarrow{D}$ 表示以分布收玫。 |