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解答题 |
空间中有两个圆球面 $B_{1}$ 和 $B_{2}$ ， $B_{2}$ 包含在 $B_{1}$ 所围球体的内部，两球面之间的闭区域为 $D$ ．设 $B$ 是含在 $D$ 中的一个圆球，它与球面 $B_{1}$ 和 $B_{2}$ 均相切．问：
（i）（4分）$B$ 的球心轨迹构成的曲面 $S$ 是何种曲面；
（ii）（2分）$B_{1}$ 的球心和 $B_{2}$ 的球心是曲面 $S$ 的何种点． |
| 2 |
解答题 |
设 $\alpha>0, f(x)$ 在 $[0,1]$ 上非负，有二阶导函数，$f(0)=0$ ，且在 $[0,1]$ 上不恒为零．求证：存在 $\xi \in(0,1)$ 使得
$$
\xi f^{\prime \prime}(\xi)+(\alpha+1) f^{\prime}(\xi)>\alpha f(\xi)
$$ |
| 3 |
解答题 |
设 $A$ 为 $n$ 阶复方阵，$p(x)$ 为 $I-\bar{A} A$的特征多项式，其中 $\bar{A}$ 表 $A$ 的共轭矩阵。证明：$p(x)$ 必为实系数多项式。 |
| 4 |
解答题 |
（本题 20 分）已知 $f_{1}$ 为实 $n$ 元正定二次型。令 $V=\left\{f \mid f\right.$ 为实 $n$ 元二次型，满足：对任何实数 $k$ 有 $k f+f_{1}$属于恒号二次型 $\}$ ，
这里恒号二次型为 0 二次型，正定二次型及负定二次型的总称。证明：$V$ 按照通常的二次型加法和数乘构成一个实向量空间，并求这个向量空间的维数．
证法1：设 $f \in V, f$ 与 $f_{1}$ 所对应的二次型矩阵分别为 $A$ 和 $B$ 。由 $B$ 正定可推得
$\exists P$ 可逆，使得 $B=P P^{T}, A=P\left(\begin{array}{lll}\lambda_{1} & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_{n}\end{array}\right) P^{T}$ 。
由条件：对任何实数 $k$ 有 $k f+f_{1}$ 属于恒号二次型可推得 $\lambda_{1}=\cdots=\lambda_{n}$ ．
事实上，若 $\lambda_{1} \neq \lambda_{2}$ 。则由式子
$$
k f+f_{1}=\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right) P\left(\begin{array}{ccc}
k \lambda_{1}+1 & & \\
& \ddots & \\
& & k \lambda_{n}+1
\end{array}\right) P^{T}\left(\begin{array}{c}
z_{1} \\
\vdots \\
z_{n}
\end{array}\right)
$$
知，总可取某实数 $q$ ，使得 $\left(q \lambda_{1}+1\right)\left(q \lambda_{2}+1\right)<0$ 。从而可取两点：$\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right) P= (0,1,0, \ldots, 0)$ 及 $\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right) P=(1,0,0, \ldots, 0), q f+f_{1}$ 在该两点取值异号，矛盾。
到此，我们实际上得到 $V=\left\{k f_{1} \mid k \in \mathbb{R}\right\}$ ．
直接可知，$V$ 按照通常的二次型加法和数乘构成一个实向量空间，并这个向量空间的维数是 1 ．证毕。 |
| 5 |
解答题 |
设 $\delta>0, \alpha \in(0,1)$ ，实数列 $\left\{x_{n}\right\}$满足
$$
x_{n+1}=x_{n}\left(1-\frac{h_{n}}{n^{\alpha}}\right)+\frac{1}{n^{\alpha+\delta}}, \quad n \geqslant 1,
$$
其中 $\left\{h_{n}\right\}$ 有正的上下界．证明：$\left\{n^{\delta} x_{n}\right\}$ 有界． |
| 6 |
解答题 |
设 $f(x)=\frac{1}{1+e^{x}}$ ．
（i）证明 $f(x)$ 是 $[0,+\infty)$ 上的凸函数．进一步，证明当 $x, y \geqslant 0$ 时成立 $f(x)+f(y) \leqslant f(0)+f(x+y)$ ．
（ii）设 $n \geqslant 3$ ，试确定集合 $E \equiv\left\{\sum_{k=1}^{n} f\left(x_{k}\right) \mid \sum_{k=1}^{n} x_{k}=\right. \left.0, x_{1}, \ldots, x_{n} \in \mathbb{R}\right\}$. |