| 1 |
解答题 |
设 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ 是空间中的两条不垂直的异面直线，点 $B$ 是它们公垂线段的中点。点 $A_{1}$ 和 $A_{2}$ 分别在 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ 上滑动，使得 $A_{1} B \perp A_{2} B$ ．证明直线 $A_{1} A_{2}$的轨迹是单叶双曲面。 |
| 2 |
解答题 |
计算 $\int_{0}^{+\infty} \frac{d x}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{2019}\right)}$ ． |
| 3 |
解答题 |
设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足
$x_{1}>0, x_{n+1}=\ln \left(1+x_{n}\right), n=1,2, \cdots$. |
| 4 |
解答题 |
设 $\left\{\epsilon_{1}, \cdots, \epsilon_{n}\right\}$ 是 $n$ 维实线性空间 $V$ 的一组基，令 $\epsilon_{1}+\epsilon_{2}+ \cdots+\epsilon_{n}+\epsilon_{n+1}=0$ ．证明：
（1）对 $i=1,2, \cdots, n+1,\left\{\epsilon_{1}, \cdots, \epsilon_{i-1}, \epsilon_{i+1}, \cdots, \epsilon_{n+1}\right\}$ 都构成 $V$ 的基；
（2）$\forall \alpha \in V$ ，在（1）中的 $n+1$ 组基中，必存在一组基使 $\alpha$ 在此基下的坐标分量均非负；
（3）若 $\alpha=a_{1} \epsilon_{1}+a_{2} \epsilon_{2}+\cdots+a_{n} \epsilon_{n}$ ，且 $\left|a_{i}\right|(i=1,2, \cdots, n)$ 互不相同，则在（1）中的 $n+1$ 组基中，满足（2）中非负坐标表示的基是唯一的． |
| 5 |
解答题 |
设 $A$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 阶矩阵，若 $A^{2}=I_{n}$（ $I_{n}$ 表示单位矩阵），则称 $A$ 为对合矩阵。试证：
（1）若 $A$ 是 $n$ 阶对合矩阵，则
$$
\operatorname{rank}\left(I_{n}+A\right)+\operatorname{rank}\left(I_{n}-A\right)=n ;
$$
（2）$n$ 阶对合矩阵 $A$ 一定可以对角化，其相似对角形为 $\left(\begin{array}{cc}I_{r} & 0 \\ 0 & -I_{n-r}\end{array}\right)$ ，其中 $r= \operatorname{rank}\left(I_{n}+A\right)$ ；
（3）若 $A, B$ 均是 $n$ 阶对合矩阵，且 $A B=B A$ ，则存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P$和 $P^{-1} B P$ 同时为对角矩阵。 |
| 6 |
解答题 |
（本题 15 分）设函数 $f(x)$ 为闭区间 $[a, b]$ 上的连续凹函数，满足 $f(a)= 0, f(b)>0$ 且 $f(x)$ 在 $x=a$ 处存在非零的右导数．对 $n \geq 2$ ，记
$$
S_{n}=\left\{\sum_{k=1}^{n} k x_{k}: \sum_{k=1}^{n} k f\left(x_{k}\right)=f(b), x_{k} \in[a, b]\right\} .
$$
（1）证明对 $\forall \alpha \in(0, f(b))$ ，存在唯一 $x \in(a, b)$ 使得 $f(x)=\alpha$ ；
（2）求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sup S_{n}-\inf S_{n}\right)$ 。 |
| 7 |
解答题 |
设正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 收玫。证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2} a_{n}}{S_{n}^{2}}$ 收玫，其中 $S_{n}= \sum_{k=1}^{n} a_{k}$. |