| 1 |
解答题 |
（本题 15 分）设 $N(0,0,1)$ 是球面 $S: x^{2}+y^{2}+ z^{2}=1$ 的北极点。 $A\left(a_{1}, a_{2}, 0\right), B\left(b_{1}, b_{2}, 0\right), C\left(c_{1}, c_{2}, 0\right)$ 为 $x O y$平面上不同的三点．设连接 $N$ 与 $A, B, C$ 的三直线依次交球面 $S$ 于点 $A_{1}, B_{1}$ 与 $C_{1}$ ．
（1）求连接 $N$ 与 $A$ 两点的直线方程．
（2）求点 $A_{1}, B_{1}$ 与 $C_{1}$ 的坐标．
（3）给定点 $A(1,-1,0), B(-1,1,0), C(1,1,0)$ ，求四面体 $N A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积． |
| 2 |
解答题 |
（本题 15 分）求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{\ln \left(1^{2020}+2^{2020}+\cdots+n^{2020}\right)}$ ．
解．我们有
$$
\begin{aligned}
& \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2021}}\left(1^{2020}+2^{2020}+\cdots+n^{2020}\right) \\
= & \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\left(\frac{1}{n}\right)^{2020}+\left(\frac{2}{n}\right)^{2020}+\cdots+\left(\frac{n}{n}\right)^{2020}\right) \\
= & \int_{0}^{1} x^{2020} d x=\frac{1}{2021}
\end{aligned}
$$
或用 Stolz 公式
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2021}}\left(1^{2020}+2^{2020}+\cdots+n^{2020}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2020}}{n^{2021}-(n-1)^{2021}}=\frac{1}{2021}
$$
因此， $\ln \frac{1^{2020}+2^{2020}+\cdots+n^{2020}}{n^{2021}}$ 有界。
$$
\begin{aligned}
& \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{\ln \left(1^{2020}+2^{2020}+\cdots+n^{2020}\right)} \\
= & \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{2021 \ln n+\ln \frac{1^{2020}+2^{2020}+\cdots+n^{2020}}{n^{2021}}} \\
= & \frac{1}{2021}
\end{aligned}
$$
| 得分 | |
| :---: | :--- |
| 评阅人 | | |
| 3 |
解答题 |
（本题 15 分）设 $A, B$ 均为 2020 阶正交矩阵，齐次线性方程组 $A x=B x\left(x \in \mathbb{R}^{2020}\right)$ 的解空间维数为 3 ．问：矩阵 $A, B$ 是否可能相似？证明你的结论．
解．$A, B$ 一定不相似． |
| 4 |
解答题 |
（本题 20 分）称非常值一元 $n$ 次多项式（合并同类项后）的 $n-1$ 次项（可能为 0 ）为第二项。求所有 2020 次复系数首一多项式 $f(x)$ ，满足对 $f(x)$ 的每个复根 $x_{k}$ ，都存在非常值复系数首一多项式 $g_{k}(x)$ 和 $h_{k}(x)$ ，使得 $f(x)=\left(x-x_{k}\right) g_{k}(x) h_{k}(x)$ ，且 $g_{k}(x)$ 与 $h_{k}(x)$ 的第二项系数相等．
解．显然 $f(x)=x^{2020}$ 满足题意．
以下证明这是唯一解。设 $f(x)$ 的2020个复根为 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{2020}$ 。对每个 $k(1 \leqslant k \leqslant 2020$ ），由题设条件可设 $f(x)=\left(x-x_{k}\right) g_{k}(x) h_{k}(x)$ ，其中 $g_{k}(x), h_{k}(x)$ 分别为 $m_{k}$ 次和 $n_{k}$ 次非常值首一多项式，第二项系数均为 $a_{k}$ 。设 $g_{k}(x)$ 的所有复根为 $y_{k, 1}, y_{k, 2}, \cdots, y_{k, m_{k}}, h_{k}(x)$ 的所有复根为 $z_{k, 1}, z_{k, 2}, \cdots, z_{k, n_{k}}$ 。这些根恰为所有 $x_{j}(j \neq k)$ 。由韦达定理，
$$
a_{k}=(-1)^{m_{k}-1}\left(y_{k, 1}+y_{k, 2}+\cdots+y_{k, m_{k}}\right)=(-1)^{n_{k}-1}\left(z_{k, 1}+z_{k, 2}+\cdots+z_{k, n_{k}}\right) .
$$
对每个 $k$ ，将上式改写为
$$
\sum_{j \neq k} \varepsilon_{k j} x_{j}=0,
$$
其中 $\varepsilon_{k j}=1$ 或 -1 。
这样，我们得到了关于 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{2020}$ 的齐次线性方程组，其系数矩阵 $A$ 为 2020阶方阵，主对角线上元素为 0 。主对角线外元素为 1 或 -1 。令 $B$ 为 2020 阶方阵，其主对角线上元素为 0 ，主对角线外元素为 1 ，则容易计算出 $B$ 的行列式为 $\operatorname{det} B=-2019$ ．由行列式定义， $\operatorname{det} A$ 与 $\operatorname{det} B$ 的奇偶性相同，故 $\operatorname{det} A \neq 0$ ．
从而上述齐次线性方程组只有零解，即 $x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{2020}=0$ 。这便证明了 $f(x)=x^{2020}$ ．
（20 分）
注：上面证明 $\operatorname{det} A \neq 0$ 也可以如下进行：
显然， $\operatorname{det} A \equiv \operatorname{det} B(\bmod 2)$ 。由于 $\operatorname{det} B=-2019 \equiv 1(\bmod 2)$ 。所以 $\operatorname{det} A \equiv 1(\bmod 2)$ 。故 $\operatorname{det} A \neq 0$ ．
| 得分 | |
| :---: | :--- |
| 评阅人 | | |
| 5 |
解答题 |
（本题 15 分）设 $\varphi$ 是 $\mathbb{R}$ 上严格单调增加的连续函数，$\psi$ 是 $\varphi$ 的反函数，实数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足
$$
x_{n+2}=\psi\left(\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \varphi\left(x_{n}\right)+\frac{1}{\sqrt{n}} \varphi\left(x_{n+1}\right)\right), \quad n \geqslant 2 .
$$ |
| 6 |
解答题 |
（本题 20 分）对于有界区间 $[a, b]$ 的划分 $P: a=x_{0}0$ 使得对任何 $x, y \in[a, b]$ ，成立 $|f(x)-f(y)| \leqslant M|x-y|$ 。定义 $s(f ; P) \equiv \sum_{k=0}^{n} \sqrt{\left|x_{k+1}-x_{k}\right|^{2}+\left|f\left(x_{k+1}\right)-f\left(x_{k}\right)\right|^{2}}$ 。若 $\lim _{\|P\| \rightarrow 0^{+}} s(f ; P)$ 存在，则称曲线 $y=f(x)$ 可求长．记 $P_{n}$ 为 $[a, b]$ 的 $2^{n}$ 等分．证明：
（1） $\lim _{n \rightarrow \infty} s\left(f ; P_{n}\right)$ 存在。
（2）曲线 $y=f(x)$ 可求长． |