| 1 |
解答题 |
（本题 15 分）已知椭球面
$$
\Sigma_{0}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1, \quad a>b
$$
的外切柱面 $\Sigma_{\varepsilon}(\varepsilon=1$ 或 -1$)$ 平行于已知直线
$$
l_{\varepsilon}: \frac{x-2}{0}=\frac{y-1}{\varepsilon \sqrt{a^{2}-b^{2}}}=\frac{z-3}{c}
$$
试求与 $\Sigma_{\varepsilon}$ 交于一个圆周的平面的法方向。注：本题中的外切柱面指的是每一条直母线均与已知椭球面相切的柱面。 |
| 2 |
解答题 |
（本题 15 分）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且
$1 \leqslant f(x) \leqslant 3$ ，证明： $1 \leqslant \int_{0}^{1} f(x) d x \int_{0}^{1} \frac{d x}{f(x)} \leqslant \frac{4}{3}$ ．
证：由 Schwarz不等式，
$$
1=\left(\int_{0}^{1} \sqrt{f(x)} \frac{1}{\sqrt{f(x)}} d x\right)^{2} \leqslant \int_{0}^{1} f(x) d x \int_{0}^{1} \frac{d x}{f(x)}
$$
又由于 $(f(x)-1)(f(x)-3) \leqslant 0$ ，故有 $\frac{(f(x)-1)(f(x)-3)}{f(x)} \leqslant 0$ ，即 $\int_{0}^{1}\left(f(x)+\frac{3}{f(x)}\right) d x \leqslant 4$ ． （10分）
由 $4 a b \leqslant(a+b)^{2}$ 知
$$
\int_{0}^{1} f(x) d x \int_{0}^{1} \frac{3}{f(x)} d x \leqslant \frac{\left(\int_{0}^{1} f(x) d x+\int_{0}^{1} \frac{3}{f(x)} d x\right)^{2}}{4} \leqslant 4
$$
于是 $1 \leqslant \int_{0}^{1} f(x) d x \int_{0}^{1} \frac{d x}{f(x)} \leqslant \frac{4}{3}$ ．
| 得分 | |
| :---: | :--- |
| 评阅人 | | |
| 3 |
选择题 |
（本题 15 分）设 $A$ 为 $n$ 阶复方阵，$p(x)$ 为 $A$ 的特征多项式。又设 $g(x)$ 为 $m$ 次复系数多项式，$m \geqslant 1$ 。证明：$g |
| 4 |
解答题 |
设 $\sigma$ 为 $n$ 维复向量空间 $\mathbb{C}^{n}$ 的一个线性变换。 $\mathbb{1}$ 表示恒等变换。证明以下两条等价：
（1）$\sigma=k \mathbb{1}, k \in \mathbb{C}$ ；
（2）存在 $\sigma$ 的 $n+1$ 个特征向量：$v_{1}, \ldots, v_{n+1}$ ，这 $n+1$ 个向量中任何 $n$ 个向量均线性无关。
证：$(1) \Rightarrow(2)$ ．取 $v_{1}=e_{1}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right), \ldots, v_{n}=e_{n}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1\end{array}\right), v_{n+1}=e_{1}+\cdots+e_{n}= \left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1\end{array}\right)$.。则易知，$v_{1}, \ldots, v_{n+1}$ 均是 $\sigma$ 的特征向量。进一步，该组向量中任何 $n$ 个向量必线性无关．事实上，不妨设这 $n$ 个向量为：$v_{1}, \ldots, v_{i-1}, v_{i+1}, \ldots, v_{n+1}$ ．于是
$a_{1} v_{1}+\cdots+a_{i-1} v_{i-1}+a_{i+1} v_{i+1}+\cdots+a_{n+1} v_{n+1}=0 \Leftrightarrow$
$\left(a_{1}+a_{n+1}\right) e_{1}+\cdots+\left(a_{i-1}+a_{n+1}\right) e_{i-1}+a_{n+1} e_{i}+\left(a_{i+1}+a_{n+1}\right) e_{i+1}+\cdots+\left(a_{n}+a_{n+1}\right) e_{n}=0$.
结果，$a_{n+1}=0$ ，进而 $a_{1}=\cdots=a_{n+1}=0$ 。如所需。
（2）⇒（1）。记 $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n+1}$ 分别为相应于 $v_{1}, \ldots, v_{n+1}$ 的 $\sigma$ 的特征值，其和为 $s$ ，即 $s=\lambda_{1}+\cdots+\lambda_{n+1}$ 。由条件知 $v_{1}, \ldots, v_{i-1}, v_{i+1}, \ldots, v_{n+1}$ 线性无关，因此它可充当 $\mathbb{C}^{n}$ 的基。 $\sigma$ 在此组基下的表示阵为 $A$ ：
$$
\sigma\left(v_{1}, \ldots, v_{i-1}, v_{i+1}, \ldots, v_{n+1}\right)=\left(v_{1}, \ldots, v_{i-1}, v_{i+1}, \ldots, v_{n+1}\right) A
$$
结果 $\operatorname{tr} A=s-\lambda_{i}$ 。
又取 $v_{1}, \ldots, v_{j-1}, v_{j+1}, \ldots, v_{n+1}, \sigma$ 在此组基下的表示阵为 $B$ ：
$$
\sigma\left(v_{1}, \ldots, v_{j-1}, v_{j+1}, \ldots, v_{n+1}\right)=\left(v_{1}, \ldots, v_{j-1}, v_{j+1}, \ldots, v_{n+1}\right) B
$$
结果 $\operatorname{tr} B=s-\lambda_{j}$ 。注意到 $A$ 与 $B$ 相似，因为他们是同一线性变换在不同基下的表示阵。故 $s-\lambda_{i}=s-\lambda_{j}, \lambda_{i}=\lambda_{j}$ 。即
$$
\sigma=k \mathbb{1}, k=\lambda_{1} \text {. 证毕. }
$$
| 得分 | |
| :---: | :--- |
| 评阅人 | | |
| 5 |
解答题 |
计算广义积分 $\int_{1}^{+\infty} \frac{(x)}{x^{3}} d x$ ，这里 $(x)$ 表示 $x$ 的小数部分（例如：当 $n$ 为正整数且 $x \in[n, n+1)$时，$(x)=x-n)$ ．
证：对于任意正整数 $\ell>2$ ，我们有
$$
\begin{aligned}
\int_{1}^{\ell} \frac{(x)}{x^{3}} d x & =\sum_{n=1}^{\ell-1} \int_{n}^{n+1} \frac{x-n}{x^{3}}=\sum_{n=1}^{\ell-1}\left(\int_{n}^{n+1} x^{-2} d x-n \int_{n}^{n+1} x^{-3} d x\right) \\
& =\sum_{n=1}^{\ell-1} \frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\ell-1} \frac{2 n+1}{n(n+1)^{2}} \\
& =\sum_{n=1}^{\ell-1} \frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\ell-1}\left(\frac{2}{n(n+1)}-\frac{1}{n(n+1)^{2}}\right) \\
& =\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\ell-1} \frac{1}{n(n+1)^{2}}=\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\ell-1}\left(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)^{2}}\right) \\
& =\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\ell}\right)-\frac{1}{2} \sum_{n=2}^{\ell} \frac{1}{n^{2}}
\end{aligned}
$$
对于 $y \in[\ell, \ell+1)$ ，我们有
$\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\ell}\right)-\frac{1}{2} \sum_{n=2}^{\ell} \frac{1}{n^{2}}=\int_{1}^{\ell} \frac{(x)}{x^{3}} d x \leqslant \int_{1}^{y} \frac{(x)}{x^{3}} d x \leqslant \int_{1}^{\ell+1} \frac{(x)}{x^{3}} d x=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\ell+1}\right)-\frac{1}{2} \sum_{n=2}^{\ell+1} \frac{1}{n^{2}}$
于是得到
$$
\int_{1}^{+\infty} \frac{(x)}{x^{3}} d x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=1-\frac{\pi^{2}}{12}
$$
所在院校：
$\_\_\_\_$密封线 答题时不要超过此线考场号： ◯
$\_\_\_\_$座位号：
$\_\_\_\_$专业：
| 得分 | |
| :---: | :--- |
| 评阅人 | | |
| 6 |
解答题 |
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，满足对任意 $x \in[0,1]$
$$
\int_{x^{2}}^{x} f(t) d t \geqslant \frac{x^{2}-x^{4}}{2}
$$ |