| 1 |
解答题 |
设不全为零的 $a, b, c \in \mathbb{R}$ ，求直线 $\frac{x-1}{a}=\frac{y-1}{b}=\frac{z-1}{c}$ 绕 $z$ 轴旋转所得的旋转曲面方程． |
| 2 |
解答题 |
（本题 15 分）设 $B \subset R^{n}(n \geq 2)$ 是单位开球，函数 $u, v$ 在 $\bar{B}$ 上连续，在 $B$ 内二阶连续可导，满足
$$
\begin{cases}-\Delta u-\left(1-u^{2}-v^{2}\right) u=0, & x \in B \\ -\Delta v-\left(1-u^{2}-v^{2}\right) v=0, & x \in B \\ u(x)=v(x)=0, & x \in \partial B\end{cases}
$$
其中，$x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right), \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{2}^{2}}+\cdots+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{n}^{2}}, \partial B$ 表示 $B$ 的边界。证明： $u^{2}(x)+v^{2}(x) \leq 1(\forall x \in \bar{B})$. |
| 3 |
解答题 |
设 $f(x)=x^{2021}+a_{2020} x^{2020}+ a_{2019} x^{2019}+\cdots+a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0}$ 为整系数多项式，$a_{0} \neq 0$ ．设对任意 $0 \leq k \leq 2020$ 有 $\left|a_{k}\right| \leq 40$ ，证明：$f(x)=0$ 的根不可能全为实数． |
| 4 |
解答题 |
设 $P$ 为对称酉矩阵，证明：存在可逆复矩阵 $Q$ 使得 $P=\bar{Q} Q^{-1}$ 。
解答。设 $P$ 为 $n$ 阶矩阵。因为 $P$ 为酉矩阵，自然为正规矩阵，所以存在酉矩阵 $U$ 使得 $U^{-1} P U=D$ 为对角阵。
（2 分）
设
$$
D=\left(\begin{array}{llll}
\alpha_{1} & & & \\
& \alpha_{2} & & \\
& & \ddots & \\
& & & \alpha_{n}
\end{array}\right)
$$
并设 $\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$ 为复数满足 $\beta_{i}^{2}=\alpha_{i}, 1 \leq i \leq n$ ，令
$$
E=\left(\begin{array}{cccc}
\beta_{1} & & & \\
& \beta_{2} & & \\
& & \ddots & \\
& & & \beta_{n}
\end{array}\right)
$$
由 Lagrange 插值公式知存在复系数多项式 $f(x)$ 使得 $f\left(\alpha_{i}\right)=\beta_{i}, 1 \leq i \leq n$ ，从而
$$
E=\left(\begin{array}{llll}
f\left(\alpha_{1}\right) & & & \\
& f\left(\alpha_{2}\right) & & \\
& & \ddots & \\
& & & f\left(\alpha_{n}\right)
\end{array}\right)=f |
| 5 |
解答题 |
（本题 15 分）设 $\alpha>1$ ，证明：
（1） $\int_{0}^{+\infty} d x \int_{0}^{+\infty} e^{-t^{\alpha} x} \sin x d t=\int_{0}^{+\infty} d t \int_{0}^{+\infty} e^{-t^{\alpha} x} \sin x d x$ ．
（2）计算 $\int_{0}^{+\infty} \sin x^{3} d x \cdot \int_{0}^{+\infty} \sin x^{\frac{3}{2}} d x$. |
| 6 |
解答题 |
（本题 20 分）设 $f, g$ 为 $\mathbb{R}$ 上的非负连续可微函数，满足：$\forall x \in \mathbb{R}$ ，成立 $f^{\prime}(x) \geqslant 6+f(x)-f^{2}(x)$ ， $g^{\prime}(x) \leqslant 6+g(x)-g^{2}(x)$ ．证明：
（1）$\forall \varepsilon \in(0,1)$ 以及 $x \in \mathbb{R}$ ，存在 $\xi \in(-\infty, x)$ 使得 $f(\xi) \geqslant 3-\varepsilon$ ．
（2）$\forall x \in \mathbb{R}$ ，成立 $f(x) \geqslant 3$ ．
（3）$\forall x \in \mathbb{R}$ ，存在 $\eta \in(-\infty, x)$ 使得 $g(\eta) \leqslant 3$ ．
（4）$\forall x \in \mathbb{R}$ ，成立 $g(x) \leqslant 3$ ． |