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解答题 |
（本题 15 分）在空间直角坐标系中设单叶双曲面 $S$的方程为 $x^{2}+y^{2}-z^{2}=1$ ．求 $S$ 上所有可能的点 $P= (a, b, c)$ ，使得过 $P$ 点且落在 $S$ 上的两条直线均平行于平面 $x+y-z=0$.
解答。设过 $P=(a, b, c)$ 点且落在 $S$ 上的两条直线的方向向量 $v_{1}$ 和 $v_{2}$ 为
$$
v_{1}=\left(\alpha_{1}, \beta_{1}, \gamma_{1}\right), \quad v_{2}=\left(\alpha_{2}, \beta_{2}, \gamma_{2}\right), \quad v_{1} \times v_{2} \neq 0
$$
则过 $P=(a, b, c)$ 点的这两条直线的参数方程为
$$
\begin{array}{ll}
(x, y, z)=(a, b, c)+\left(\alpha_{1}, \beta_{1}, \gamma_{1}\right) t, & t \in \mathbb{R} ; \\
(x, y, z)=(a, b, c)+\left(\alpha_{2}, \beta_{2}, \gamma_{2}\right) t, & t \in \mathbb{R} .
\end{array}
$$
因为它们整体落在单叶双曲面 $S$ 上，代入 $S$ 的方程，得到
$$
\begin{aligned}
& \left(a+\alpha_{1} t\right)^{2}+\left(b+\beta_{1} t\right)^{2}-\left(c+\gamma_{1} t\right)^{2}=1, \quad t \in \mathbb{R} \\
& \left(a+\alpha_{2} t\right)^{2}+\left(b+\beta_{2} t\right)^{2}-\left(c+\gamma_{2} t\right)^{2}=1, \quad t \in \mathbb{R}
\end{aligned}
$$
于是有
$$
2\left(a \alpha_{1}+b \beta_{1}-c \gamma_{1}\right) t+\left(\alpha_{1}^{2}+\beta_{1}^{2}-\gamma_{1}^{2}\right) t^{2}=0, \quad t \in \mathbb{R}
$$
$$
2\left(a \alpha_{2}+b \beta_{2}-c \gamma_{2}\right) t+\left(\alpha_{2}^{2}+\beta_{2}^{2}-\gamma_{2}^{2}\right) t^{2}=0, \quad t \in \mathbb{R}
$$
因此
$$
a \alpha_{1}+b \beta_{1}-c \gamma_{1}=0, \quad a \alpha_{2}+b \beta_{2}-c \gamma_{2}=0
$$
由方程（1）和（2）得到
$$
(a, b,-c) \perp v_{1}=\left(\alpha_{1}, \beta_{1}, \gamma_{1}\right), \quad(a, b,-c) \perp v_{2}=\left(\alpha_{2}, \beta_{2}, \gamma_{2}\right)
$$
由于 $v_{1}$ 和 $v_{2}$ 平行于平面 $x+y-z=0$ ，该平面法向量为 $(1,1,-1)$ ，故
$$
(1,1,-1) \perp v_{1}, \quad(1,1,-1) \perp v_{1}
$$
于是
$$
(a, b,-c)=\lambda(1,1,-1), \quad(a, b, c)=\lambda(1,1,1)
$$
由于 $P=(a, b, c)$ 落在 $S$ 上，$a^{2}+b^{2}-c^{2}=1$ ，故 $\lambda^{2}=1, \lambda= \pm 1$ ．这样求出
$$
P=(a, b, c)= \pm(1,1,1)
$$
| 得分 | |
| :---: | :--- |
| 评阅人 | | |
| 2 |
解答题 |
（本题 15 分）设 $\Gamma=\left\{\left\{\left(x_{n}\right\} \mid x_{n}=0,2\right\}\right.$ ，即 $\Gamma$ 为全体各项为 0 或 2 的数列构成的集合。对于任何 $x=\left\{x_{n}\right\} \in \Gamma$ ，令
$$
\Pi(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_{n}}{3^{n}}, \quad f(x)=\varlimsup_{n \rightarrow+\infty} \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}
$$ |
| 3 |
解答题 |
设 $n \geq 2, A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 为数域 $K$ 上的方阵，它们的极小多项式两两互素。证明：给定数域 $K$上的任意多项式 $f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{n}(x) \in K[x]$ ，存在多项式 $f(x) \in K[x]$ 使得对所有 $i=1,2, \cdots, n$ 有 $f\left(A_{i}\right)= f_{i}\left(A_{i}\right)$.
解答。对于 $i=1,2, \cdots, n$ ，记矩阵 $A_{i}$ 的极小多项式为 $p_{i}(x)$ 。下面对 $n$ 做归纳。当 $n=2$ 时，由于 $p_{1}(x)$ 与 $p_{2}(x)$ 互素，存在多项式 $u(x), v(x) \in K[x]$ 使得
$$
u(x) p_{1}(x)+v(x) p_{2}(x)=1
$$
从而
$$
u(x)\left(f_{1}(x)-f_{2}(x)\right) p_{1}(x)+v(x)\left(f_{1}(x)-f_{2}(x)\right) p_{2}(x)=f_{1}(x)-f_{2}(x)
$$
即
$$
u(x)\left(f_{2}(x)-f_{1}(x)\right) p_{1}(x)+f_{1}(x)=v(x)\left(f_{1}(x)-f_{2}(x)\right) p_{2}(x)+f_{2}(x)
$$
令
$$
f(x)=u(x)\left(f_{2}(x)-f_{1}(x)\right) p_{1}(x)+f_{1}(x)=v(x)\left(f_{1}(x)-f_{2}(x)\right) p_{2}(x)+f_{2}(x)
$$
由于 $p_{1}\left(A_{1}\right)=0$ 且 $p_{2}\left(A_{2}\right)=0$ ，故有 $f\left(A_{1}\right)=f_{1}\left(A_{1}\right), f\left(A_{2}\right)=f_{2}\left(A_{2}\right)$ ．
设结论对 $n=k$ 成立，即存在多项式 $g(x) \in K[x]$ 使得 $g\left(A_{j}\right)=f_{j}\left(A_{j}\right), 1 \leq j \leq k$ ．当 $n=k+1$ 时，令
$$
B=\left(\begin{array}{llll}
A_{1} & & & \\
& A_{2} & & \\
& & \ddots & \\
& & & A_{k}
\end{array}\right)
$$
显然矩阵 $B$ 的极小多项式整除 $p_{1}(x) p_{2}(x) \cdots p_{k}(x)$ ，由于矩阵 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{k}, A_{k+1}$的极小多项式 $p_{1}(x), p_{2}(x), \cdots, p_{k}(x), p_{k+1}(x)$ 两两互素，所以矩阵 $B$ 的极小多项式与矩阵 $A_{k+1}$ 的极小多项式互素，对矩阵 $B$ 和 $A_{k+1}$ 利用前面证明的 $n=2$时的结论，存在多项式 $f(x) \in K[x]$ 使得 $f |
| 4 |
解答题 |
（本题 20 分）设 $A, B$ 都是秩为 $r$ 的 $n$ 阶不可逆实矩阵， $I$ 和 $J$ 是集合 $\{1,2, \cdots, n\}$ 的两个 $r+1$ 元子集。用 $\mathbb{R}^{n \times n}$ 表示所有 $n$ 阶实矩阵构成的集合，令
$V=\left\{C=\left(c_{i j}\right)_{n \times n} \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid c_{i j}=0\right.$ 若 $i \notin I$ 或 $\left.j \notin J\right\}$. |
| 5 |
解答题 |
设 $f$ 与 $g$ 在 $[a, b]$ 上可导，且对任何 $x \in[a, b], g^{\prime}(x) \neq 0$ ．又 $\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=0$ ．证明：存在 $\xi \in(a, b)$ 使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ ． |
| 6 |
解答题 |
（本题 20 分）设 $A=\left\{\left.\sqrt{\frac{m}{n}} \right\rvert\, m, n\right.$ 为正整数 $\} \backslash \mathbb{Q}$ ， $x_{0}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{10^{n!}}$ ．对于 $x>0$ ，定义 $f(x)= \begin{cases}0, & x \text { 为无理数，} \\ \frac{1}{q^{\alpha}}, & x=\frac{p}{q} \text { 为既约分数．}\end{cases}$ |