| 1 |
解答题 |
（本题 15 分）设空间直角坐标系中三角形 $A B C$ 的三个顶点坐标为：$A=(1,2,3), B=(2,3,1), C=(3,1,2)$ ． $M$ 为三角形 $A B C$ 的三中线交点（重心）。求过点 $M$ 的平面方程，该平面与三角形 $A B C$ 垂直，且与直线 $B C$ 平行．
解答．重心 $M$ 点的坐标为
$$
M=\frac{1}{3}(A+B+C)=(2,2,2)
$$
因为
$$
\overrightarrow{A B}=(1,1,-2), \quad \overrightarrow{B C}=(1,-2,1),
$$
三角形 $A B C$ 所在平面的法向量为
$$
\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{B C}=(-3,-3,-3)=(-3) \cdot(1,1,1)
$$
该向量 $(1,1,1)$ 和向量 $\overrightarrow{B C}=(1,-2,1)$ 均平行于所求的平面，故所求平面法向量为
$$
(1,1,1) \times(1,-2,1)=(3,0,-3)=3 \cdot(1,0,-1)
$$
（10 分）
因为所求平面过 $M=(2,2,2)$ 点，所以该平面方程为
$$
\begin{gathered}
(x-2)-(z-2)=0 \\
x-z=0
\end{gathered}
$$
（15 分）
| 得分 | |
| :---: | :--- |
| 评阅人 | | |
| 2 |
解答题 |
（本题 15 分）设 $\Gamma=\left\{\left\{\left(x_{n}\right\} \mid x_{n}=0,2\right\}\right.$ ，即 $\Gamma$ 为全体各项为 0 或 2 的数列构成的集合。对于任何 $x=\left\{x_{n}\right\} \in \Gamma$ ，令
$$
\Pi(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_{n}}{3^{n}}, \quad f(x)=\varlimsup_{n \rightarrow+\infty} \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}
$$ |
| 3 |
解答题 |
设 $n \geq 2, A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 为数域 $K$ 上的方阵，它们的极小多项式两两互素。证明：给定数域 $K$上的任意多项式 $f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{n}(x) \in K[x]$ ，存在多项式 $f(x) \in K[x]$ 使得对所有 $i=1,2, \cdots, n$ 有 $f\left(A_{i}\right)= f_{i}\left(A_{i}\right)$.
解答。对于 $i=1,2, \cdots, n$ ，记矩阵 $A_{i}$ 的极小多项式为 $p_{i}(x)$ 。下面对 $n$ 做归纳。当 $n=2$ 时，由于 $p_{1}(x)$ 与 $p_{2}(x)$ 互素，存在多项式 $u(x), v(x) \in K[x]$ 使得
$$
u(x) p_{1}(x)+v(x) p_{2}(x)=1
$$
从而
$$
u(x)\left(f_{1}(x)-f_{2}(x)\right) p_{1}(x)+v(x)\left(f_{1}(x)-f_{2}(x)\right) p_{2}(x)=f_{1}(x)-f_{2}(x)
$$
即
$$
u(x)\left(f_{2}(x)-f_{1}(x)\right) p_{1}(x)+f_{1}(x)=v(x)\left(f_{1}(x)-f_{2}(x)\right) p_{2}(x)+f_{2}(x)
$$
令
$$
f(x)=u(x)\left(f_{2}(x)-f_{1}(x)\right) p_{1}(x)+f_{1}(x)=v(x)\left(f_{1}(x)-f_{2}(x)\right) p_{2}(x)+f_{2}(x)
$$
由于 $p_{1}\left(A_{1}\right)=0$ 且 $p_{2}\left(A_{2}\right)=0$ ，故有 $f\left(A_{1}\right)=f_{1}\left(A_{1}\right), f\left(A_{2}\right)=f_{2}\left(A_{2}\right)$ ．
设结论对 $n=k$ 成立，即存在多项式 $g(x) \in K[x]$ 使得 $g\left(A_{j}\right)=f_{j}\left(A_{j}\right), 1 \leq j \leq k$ ．当 $n=k+1$ 时，令
$$
B=\left(\begin{array}{llll}
A_{1} & & & \\
& A_{2} & & \\
& & \ddots & \\
& & & A_{k}
\end{array}\right)
$$
显然矩阵 $B$ 的极小多项式整除 $p_{1}(x) p_{2}(x) \cdots p_{k}(x)$ ，由于矩阵 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{k}, A_{k+1}$的极小多项式 $p_{1}(x), p_{2}(x), \cdots, p_{k}(x), p_{k+1}(x)$ 两两互素，所以矩阵 $B$ 的极小多项式与矩阵 $A_{k+1}$ 的极小多项式互素，对矩阵 $B$ 和 $A_{k+1}$ 利用前面证明的 $n=2$时的结论，存在多项式 $f(x) \in K[x]$ 使得 $f |
| 4 |
解答题 |
设3阶实对称矩阵 $A$ 的三个特征值为 $-1,1,1$ ．又 $A$ 的与特征值 -1 相对应的一个特征向量为 $p=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ ，求 $A$ 。
解答。用 $V_{-1}, V_{1}$ 分别表示矩阵 $A$ 关于 -1 和 1 的特征向量空间，则有 $\mathbb{R}^{3}=V_{-1}+V_{1}$ ，此处 + 表示正交和。
（5 分）
注意到 $V_{-1}$ 的正交补子空间是唯一的，因此有 $V_{-1}^{\perp}=V_{1}$ ，即
$$
V_{1}=\left\{x \in \mathbb{R}^{3} \mid p \cdot x=0\right\}=\left\{\left.k_{1}\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right)+k_{2}\left(\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0
\end{array}\right) \right\rvert\, k_{1}, k_{2} \in \mathbb{R}\right\}
$$
由此得到 $V_{1}$ 的一组基为 $p_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right), p_{3}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$ ．
（15 分）
令 $P=\left(p, p_{2}, p_{3}\right)$ ，于是有
$$
\begin{gathered}
A P=P\left(\begin{array}{ccc}
-1 & & \\
& 1 & \\
& & 1
\end{array}\right), \\
A=P\left(\begin{array}{lll}
-1 & & \\
& 1 & \\
& & 1
\end{array}\right) P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & & \\
& 1 & \\
& & -1
\end{array}\right) .
\end{gathered}
$$
| 得分 | |
| :---: | :--- |
| 评阅人 | | |
| 5 |
解答题 |
（本题 15 分）设 $x \in[0,1], y_{1}=\frac{x}{2}, y_{n+1}=\frac{x-y_{n}^{2}}{2}(n \geqslant$ 1）．证明： $\lim _{n \rightarrow+\infty} y_{n}$ 存在并求其值。 |
| 6 |
解答题 |
（本题 20 分）设 $a>1$ ．在 $[0,+\infty)$ 上定义函数 $f:$
$$
f(x)= \begin{cases}-1, & x \in[0, a) \\ (-1)^{k+1}, & x \in\left[a^{k}, a^{k+1}\right), k \geqslant 1\end{cases}
$$
定义 $a_{n}=\int_{0}^{n} f(x) d x$ 。求 $A \equiv\left\{\beta \in \mathbb{R} \left\lvert\, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{\beta}}\right.\right.$ 绝对收敛 $\}$ 以及 $B \equiv\left\{\beta \in \mathbb{R} \left\lvert\, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{\beta}}\right.\right.$ 收玫 $\}$ 。 |