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解答题 |
在空间中给定直线 $L$ 及直线外定点 $P$ ．设 $M$ 是过 $P$ 点且与直线 $L$ 相切的球面的球心。问：所有可能的球心 $M$ 构成何种曲面？证明你的结论。
解答。解：这是一个抛物柱面。 |
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解答题 |
设 $f(x, y, z)=x^{2}+\left(y^{2}+z^{2}\right)(1-x)^{3}$ ．
（1）计算 $f$ 的驻点。
（2）求 $f$ 在 $\Sigma$ 上的最小值，其中， $\Sigma$ 是 $\left\{(x, y, z)\left||x| \leqslant 2, y^{2}+z^{2} \leqslant 4\right\}\right.$ 的边界。
（3）求 $f$ 在椭球 $x^{2}+\frac{y^{2}}{2}+\frac{z^{2}}{3} \leqslant 1$ 上的最小值． |
| 3 |
解答题 |
设 $V$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间， $\mathbf{A}$ 是 $V$ 上的一个线性变换．证明：存在 $\alpha \in V$ 使得 $\left\{\alpha, \mathbf{A} \alpha, \cdots, \mathbf{A}^{n-1} \alpha\right\}$ 成为 $V$ 的一组基当且仅当对于 $\mathbf{A}$的任一特征值 $\lambda, \lambda$ 的几何重数为 1 。 |
| 4 |
解答题 |
（本题 15 分）设 $n \geqslant 3$ 为自然数，$\theta=\frac{2 \pi}{n}$ ．对任意 $1 \leq s, t \leq n$ ，取 $a_{s t}=\sin (s+t) \theta$ ，令矩阵 $A=\left(a_{s t}\right)_{n \times n}$ ，计算 $E+A^{2023}$ 的行列式，其中 $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵。 |
| 5 |
解答题 |
设 $E \subset \mathbb{R}^{n}$ 非空有界， $\mathbf{c} \in \mathbb{R}^{n}, \mathbf{c}$ 非零。用 $\operatorname{diam} E=\sup _{\mathbf{x}, \mathbf{y} \in E}\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|$ 表示 $E$ 的直径，记 $E+\mathbf{c}= \{\mathbf{x}+\mathbf{c} \mid \mathbf{x} \in E\}$ ．证明： $\operatorname{diam} E<\operatorname{diam}(E \cup(E+\mathbf{c}))$ ． |
| 6 |
解答题 |
设 $a=\sqrt[3]{3}, x_{1}=a, x_{n+1}=a^{x_{n}}(n= 1,2, \ldots)$ ．证明：数列 $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 极限存在，但不是 3 ． |