| 1 |
解答题 |
（本题 15 分）设双叶双曲面 $S: x^{2}+y^{2}-z^{2}=-2$ 。记以 $M_{0}(1,1,-1)$ 为顶点且与 $S$ 的上半叶
$$
S^{+}=\{(x, y, z) \in S \mid z \geq \sqrt{2}\}
$$
相切的所有切线构成的锥面为 $\Sigma$ 。
（1）求锥面 $\Sigma$ 的方程；
（2）求 $S^{+} \cap \Sigma$ 所在平面 $\pi$ 的方程。
解答．1．设过顶点 $M(1,1,-1)$ ，方向向量为 $(l, m, n)$ 的直线的参数方程为
$$
L:\left\{\begin{array}{l}
x-1=l t \\
y-1=m t \\
z+1=n t
\end{array}\right.
$$
将（1）代入 $S$ 的方程可得
$$
(1+l t)^{2}+(1+m t)^{2}-(-1+n t)^{2}+2=0
$$
即
$$
\left(l^{2}+m^{2}-n^{2}\right) t^{2}+2(l+m+n) t+3=0
$$
既然 $L$ 与 $S$ 相切，由（2）则有
$$
4(l+m+n)^{2}-12\left(l^{2}+m^{2}-n^{2}\right)=0
$$
即
$$
l^{2}+m^{2}-2 n^{2}-l m-l n-m n=0
$$
结合（1）与（3），消去参数 $t$ 可得雉面方程
$$
(x-1)^{2}+(y-1)^{2}-2(z+1)^{2}-(x-1)(y-1)-(x-1)(z+1)-(y-1)(z+1)=0
$$
2．对于任意的 $M_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) \in S^{+} \cap \Sigma$ ，设 $M(x, y, z)$ 是连接 $M_{0}$ 与 $M_{1}$ 的直线上任意一点，并设 $\overrightarrow{M_{1} M}=t \overrightarrow{M_{0} M_{1}}$ ，其中 $t$ 为参数．于是有
$$
\left\{\begin{array}{l}
x-x_{1}=t\left(x_{1}-1\right) \\
y-y_{1}=t\left(y_{1}-1\right) \\
z-z_{1}=t\left(z_{1}+1\right)
\end{array}\right.
$$
将（4）与 $S^{+}$的方程联立则有
$$
\left(x_{1}(1+t)-t\right)^{2}+\left(y_{1}(1+t)-t\right)^{2}-\left(z_{1}(1+t)+t\right)^{2}+2=0
$$
利用 $x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-z_{1}^{2}=-2$ ，由（5）可得
$$
\left(-1-2 x_{1}-2 y_{1}+2 z_{1}\right) t^{2}-2\left(x_{1}+y_{1}+z_{1}+2\right) t=0
$$
由于 $M_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ 是切点，因此有 $x_{1}+y_{1}+z_{1}+2=0$ ，因此所求的平面 $\pi$ 的方程为
$$
x+y+z+2=0
$$
所在院校：
$\_\_\_\_$密封线 答题时不要超过此线考场号： ◯
$\_\_\_\_$座位号：
$\_\_\_\_$专业：
| 得分 | |
| :---: | :--- |
| 评阅人 | | |
| 2 |
解答题 |
（本题 15 分）设 $s \geqslant 0$ ，
$$
\varphi(s)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln \left(1+s x^{2}\right)}{x\left(1+x^{2}\right)} d x
$$
求 $\varphi(1)$ 和 $\varphi(2)$ 。 |
| 3 |
解答题 |
（本题 20 分）设
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right)
$$
为实数域 $\mathbb{R}$ 上的 $3 \times 3$ 不可逆方阵．若 $A$ 的伴随矩阵 $A^{*}$ 为
$$
A^{*}=\left(\begin{array}{ccc}
a_{11}^{2} & a_{12}^{2} & a_{13}^{2} \\
a_{21}^{2} & a_{22}^{2} & a_{23}^{2} \\
a_{31}^{2} & a_{32}^{2} & a_{33}^{2}
\end{array}\right),
$$
求 $A$ 。 |
| 4 |
解答题 |
（本题 15 分）熟知实数域 $\mathbb{R}$ 上的一元多项式集合 $\mathbb{R}[x]$ 在多项式加法和数乘下构成 $\mathbb{R}$ 上的一个线性空间．设 $f_{i}(x) \in \mathbb{R}[x]$ 且次数为 $n_{i}, 1 \leq i \leq 2024$ ，这里规定零多项式的次数为 $-\infty$ ，已知
$$
\sum_{i=1}^{2024} n_{i}<2047276
$$ |
| 5 |
解答题 |
（本题 15 分）讨论以下级数的收玫性：
$$
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+(-1)^{[\sqrt{n}]}}, \quad \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}+(-1)^{[\sqrt{n}]}}
$$
其中 $[x]$ 表示 $x$ 的整数部分。 |
| 6 |
解答题 |
（1）设 $f_{1}(t)=\frac{t+3}{2}, f_{2}(t)=\frac{t+6}{3},\left\{n_{k}\right\}$为取值于 $\{1,2\}$ 的整数列．令 $F_{1}(t)=f_{n_{1}}(t), F_{k+1}(t)= F_{k}\left(f_{n_{k+1}}(t)\right)(k \geqslant 1)$ 。证明：对任何 $x \in \mathbb{R}$ ，极限 $\lim _{k \rightarrow+\infty} F_{k}(x)$存在且与 $x$ 无关。
（2）若题（1）中的 $f_{1}, f_{2}$ 改为 $f_{1}(t)=t-\arctan t, f_{2}(t)=2 \arctan t-t$ ，结论如何？ |