| 1 |
解答题 |
（本题 15 分）已知单叶双曲面
$$
S: x^{2}+y^{2}-z^{2}=1
$$
（1）求 $S$ 上经过 $M_{0}(1,-1,1)$ 点的两条不同族的直母线方程；
（2）求 $S$ 上相互垂直的直母线交点的轨迹． |
| 2 |
解答题 |
（本题 15 分）设 $s \geqslant 0$ ，
$$
\varphi(s)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln \left(1+s x^{2}\right)}{x\left(1+x^{2}\right)} d x
$$
求 $\varphi(1)$ 和 $\varphi(2)$ 。 |
| 3 |
解答题 |
（本题 20 分）设
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right)
$$
为实数域 $\mathbb{R}$ 上的 $3 \times 3$ 不可逆方阵．若 $A$ 的伴随矩阵 $A^{*}$ 为
$$
A^{*}=\left(\begin{array}{ccc}
a_{11}^{2} & a_{12}^{2} & a_{13}^{2} \\
a_{21}^{2} & a_{22}^{2} & a_{23}^{2} \\
a_{31}^{2} & a_{32}^{2} & a_{33}^{2}
\end{array}\right),
$$
求 $A$ 。 |
| 4 |
解答题 |
（本题 15 分）设 $f(x)$ 为实数域 $\mathbb{R}$ 上没有零点的实连续函数．若 $f(2023)+f(2024)=2025$ ，证明：对任意 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in \mathbb{R}$ ，均有矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1+f\left(x_{1}\right) & f\left(x_{2}\right) & \cdots & f\left(x_{n}\right) \\
f\left(x_{1}\right) & 1+f\left(x_{2}\right) & \cdots & f\left(x_{n}\right) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f\left(x_{1}\right) & f\left(x_{2}\right) & \cdots & 1+f\left(x_{n}\right)
\end{array}\right)
$$
为可逆矩阵。 |
| 5 |
解答题 |
（本题 15 分）对于 $n \geqslant 2$ ，记
$$
\begin{aligned}
& E_{n}=\left\{k \in \mathbb{N} \mid 1 \leqslant k^{2} \leqslant n\right\} \\
& F_{n}=\{\sqrt{k} \mid 1 \leqslant k \leqslant n, k \in \mathbb{N}, \sqrt{k} \notin \mathbb{N}\}
\end{aligned}
$$
令 $A_{n}, B_{n}$ 依次为 $E_{n}, F_{n}$ 中所有元素之和。计算极限 |
| 6 |
解答题 |
设 $\alpha>0$ 是常数．又设 $\left\{x_{n}\right\}$ 和 $\left\{y_{n}\right\}$ 为正数列且满足 $x_{1}=2024, y_{1}=20251109, x_{n+1}+x_{n+1}^{1+\alpha}=x_{n}$ ， $y_{n+1}+2^{-\alpha} y_{n+1}^{1+\alpha} \leqslant y_{n}(n \geqslant 1)$ ．
（1）证明 $\left\{n x_{n}^{\alpha}\right\}$ 收敛并求极限。
（2）证明：$\varlimsup_{n \rightarrow+\infty} n y_{n}^{\alpha} \leqslant \frac{2^{\alpha}}{\alpha}$ ． |