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解答题 |
（本题 15 分）记三维欧氏空间中不共面的四点 $A, B, C, D$ 生成的四面体为 $A B C D$ 。在四面体 $A B C D$ 内部取一点 $O$ ，设四面体 $O B C D$ 的体积为 $V_{A}$ ，四面体 $O A C D$ 的体积为 $V_{B}$ ，四面体 $O A B D$ 的体积为 $V_{C}$ ，四面体 $O A B C$ 的体积为 $V_{D}$ ．
（1）求证：$(\overrightarrow{O A} \cdot(\overrightarrow{O C} \times \overrightarrow{O D}))(\overrightarrow{O B} \cdot(\overrightarrow{O C} \times \overrightarrow{O D}))<0$ ；
（2）求证：$V_{A} \overrightarrow{O A}+V_{B} \overrightarrow{O B}+V_{C} \overrightarrow{O C}+V_{D} \overrightarrow{O D}=\overrightarrow{0}$ ． |
| 2 |
解答题 |
设 $N \geqslant 1, \mathcal{S}$ 是包含 $N$ 个整数的集合，满足如下的加性唯一性条件：
若 $n_{k} \in \mathcal{S}(1 \leqslant k \leqslant 4)$ 且 $n_{1}+n_{2}=n_{3}+n_{4}$ ，则必有 $n_{1}=n_{3}$ 或 $n_{1}=n_{4}$ ．令 $f(x):=\sum_{n \in \mathcal{S}} e^{2 \pi i n x}$ 。
（1）计算 $\int_{0}^{1}|f(x)|^{2} d x, \int_{0}^{1}|f(x)|^{4} d x$ ．
（2）证明： $\int_{0}^{1}|f(x)| d x \geqslant \frac{1}{2 \sqrt{N}}$ ．
解（1）我们有
$$
|f(x)|^{2}=f(x) \overline{f(x)}=\left(\sum_{m \in \mathcal{S}} e^{2 \pi i m x}\right)\left(\sum_{n \in \mathcal{S}} e^{-2 \pi i n x}\right) \equiv N+g(x)
$$
其中，
$$
g(x)=\sum_{\substack{m, n \in \mathcal{S} \\ m \neq n}} e^{2 \pi i(m-n) x}
$$
于是，注意到当整数 $k \neq 0$ 时， $\int_{0}^{1} e^{2 \pi i k x} d x=0$ ，立即得到 $\int_{0}^{1} g(x) d x=0$ ，从而
$$
\int_{0}^{1}|f(x)|^{2} d x=N
$$
而由题设条件，对于 $m_{1} \neq n_{1}, m_{2} \neq n_{2}$ ，若 $m_{1} \neq m_{2}$ ，则 $m_{1}-n_{1} \neq m_{2}-n_{2}$ 。于是，
$$
g(x)=\sum_{k \in \mathcal{S}_{g}} e^{2 \pi i k x}
$$
这里集合 $\mathcal{S}_{g}$ 由 $N^{2}-N$ 个两两不同的非零整数组成．这样，又有
（2）对于本小题，我们提供两种方式的证明．
法 I．注意到 $\int_{0}^{1} g(x) d x=0$ ，我们有
$$
\begin{aligned}
\sqrt{N}-\int_{0}^{1}|f(x)| d x & =\int_{0}^{1}(\sqrt{N}-\sqrt{N+g(x)}) d x=-\int_{0}^{1} \frac{g(x)}{\sqrt{N}+\sqrt{N+g(x)}} d x \\
& =\int_{0}^{1}\left(\frac{g(x)}{2 \sqrt{N}}-\frac{g(x)}{\sqrt{N}+\sqrt{N+g(x)}}\right) d x \\
& =\int_{0}^{1} \frac{g^{2}(x)}{2 \sqrt{N}(\sqrt{N}+\sqrt{N+g(x)})^{2}} d x \\
& \leqslant \int_{0}^{1} \frac{g^{2}(x)}{2 N \sqrt{N}} d x=\frac{N^{2}-N}{2 N \sqrt{N}}<\frac{\sqrt{N}}{2}
\end{aligned}
$$
因此，
$$
\int_{0}^{1}|f(x)| d x>\frac{\sqrt{N}}{2}
$$
法 II．由 Hölder 不等式，我们有
$$
\begin{aligned}
N & =\int_{0}^{1}|f(x)|^{2} d x \leqslant\left(\int_{0}^{1}|f(x)| d x\right)^{\frac{2}{3}}\left(\int_{0}^{1}|f(x)|^{4} d x\right)^{\frac{1}{3}} \\
& =\left(\int_{0}^{1}|f(x)| d x\right)^{\frac{2}{3}}\left(2 N^{2}-N\right)^{\frac{1}{3}}
\end{aligned}
$$
因此，
$$
\int_{0}^{1}|f(x)| d x \geqslant \sqrt{\frac{N^{3}}{2 N^{2}-N}}>\frac{\sqrt{N}}{\sqrt{2}}>\frac{\sqrt{N}}{2} .
$$ |
| 3 |
解答题 |
（本题 20 分）设 $m, n$ 为大于 2 的整数，$a_{1}, \cdots, a_{m+1}$ 为任意 $m+1$ 个有理数， $\mathbb{Q}^{n \times n}$ 为有理数域上 $n$ 阶方阵全体。证明：
（1） $\mathbb{Q}^{n \times n}$ 中存在 $m$ 个元素 $B_{1}, \cdots, B_{m}$ 使得行列式 $\left|B_{j}\right|=j(j=1, \cdots, m)$ 成立。
（2） $\mathbb{Q}^{n \times n}$ 中存在 $m$ 个元素 $A_{1}, \cdots, A_{m}$ 使得下列两条同时成立：
（i）$\left|A_{j}\right|=a_{j}(j=1, \cdots, m)$ ；
（ii）$\left|A_{1}-A_{2}-\cdots-A_{m}\right|=a_{m+1}$ ． |
| 4 |
解答题 |
设 $K$ 为数域， $\mathcal{A}: V \rightarrow V$ 是 $n$ 维 $K$－向量空间 $V$ 上的线性算子（线性变换），$\mu_{\mathcal{A}}(x), \chi_{\mathcal{A}}(x) \in K[x]$ 分别是 $\mathcal{A}$ 的极小多项式和特征多项式。证明：
（1）存在 $\alpha \in V$ 使 $\mu_{\mathcal{A}}(x)=\mu_{\mathcal{A}, \alpha}(x)$ ，其中 $\mu_{\mathcal{A}, \alpha}(x)$ 是集合
$$
\{f(x) \in K[x] \mid f(\mathcal{A})(\alpha)=0\}
$$
中首项系数为 1 ，次数最小的多项式；
（2）$K[\mathcal{A}] \cdot \alpha:=\{f(\mathcal{A})(\alpha) \mid \forall f(x) \in K[x]\}$ 是 $\operatorname{deg} \mu_{\mathcal{A}, \alpha}(x)$ 维 $\mathcal{A}$－不变子空间；
（3）设 $\mathcal{B}: V \rightarrow V$ 是任意线性算子．若 $\mu_{\mathcal{A}}(x)=\chi_{\mathcal{A}}(x)$ ，则
$$
\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}=\mathcal{B} \cdot \mathcal{A} \Longleftrightarrow \text { 存在 } f(x) \in K[x] \text { 使 } \mathcal{B}=f(\mathcal{A}) \text {. }
$$ |
| 5 |
解答题 |
（本题 15 分）设 $f \in C[0,1] \cap C^{2}(0,1), \sup _{x \in(0,1)} f^{\prime \prime}(x)=2$ ．证明：存在唯一的二次多项式 $P(x)=x^{2}+b x+c$ ，使得 $P(0)-f(0)=P(1)-f(1)=0$ ，且下列结论之一成立：
（1）$f(x)>P(x)(\forall x \in(0,1))$ ；
（2）$f(x)=P(x)(\forall x \in[0,1])$ ． |
| 6 |
解答题 |
设 $\mathcal{A}$ 为正整数集 $\mathbb{Z}_{+}$的子集， $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{S_{n}(0,1)}{n}$ 存在，记为 $p$ ，其中对于 $0 \leqslant a \leqslant b \leqslant 1, S_{n}(a, b)$ 表示集合 $\{k \in \mathcal{A} \mid a n \leqslant k \leqslant b n\}$ 的元素个数．
（1）若 $0 |