第十七届数学类初赛（B类）

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#题型题目
1 解答题 （本题 15 分）三角形三条中线的交点称为三角形的重心．在四面体 $A B C D$中，记 $\overrightarrow{e_{1}}:=\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{e_{2}}:=\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{e_{3}}:=\overrightarrow{A D}$ ，并设 $O_{1}, O_{2}$ 和 $O_{3}$ 分别为 $\triangle B C D, \triangle A C D$ 和 $\triangle A B D$ 的重心． （1）在坐标系 $\left\{A, \overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right\}$ 下，求 $O_{1}$ 点的坐标 $(x, y, z)$ ，其中 $$ \overrightarrow{A O_{1}}=x \overrightarrow{e_{1}}+y \overrightarrow{e_{2}}+z \overrightarrow{e_{3}} ; $$ （2）证明三直线 $A O_{1}, B O_{2}$ 及 $C O_{3}$ 相交于一点 $P$ ； （3）在坐标系 $\left\{A, \overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right\}$ 下，求（2）中交点 $P$ 的坐标．
2 解答题 设 $N \geqslant 1, \mathcal{S}$ 是包含 $N$ 个整数的集合，满足如下的加性唯一性条件： 若 $n_{k} \in \mathcal{S}(1 \leqslant k \leqslant 4)$ 且 $n_{1}+n_{2}=n_{3}+n_{4}$ ，则必有 $n_{1}=n_{3}$ 或 $n_{1}=n_{4}$ ．令 $f(x):=\sum_{n \in \mathcal{S}} e^{2 \pi i n x}$ 。 （1）计算 $\int_{0}^{1}|f(x)|^{2} d x, \int_{0}^{1}|f(x)|^{4} d x$ ． （2）证明： $\int_{0}^{1}|f(x)| d x \geqslant \frac{1}{2 \sqrt{N}}$ ． 解（1）我们有 $$ |f(x)|^{2}=f(x) \overline{f(x)}=\left(\sum_{m \in \mathcal{S}} e^{2 \pi i m x}\right)\left(\sum_{n \in \mathcal{S}} e^{-2 \pi i n x}\right) \equiv N+g(x) $$ 其中， $$ g(x)=\sum_{\substack{m, n \in \mathcal{S} \\ m \neq n}} e^{2 \pi i(m-n) x} $$ 于是，注意到当整数 $k \neq 0$ 时， $\int_{0}^{1} e^{2 \pi i k x} d x=0$ ，立即得到 $\int_{0}^{1} g(x) d x=0$ ，从而 $$ \int_{0}^{1}|f(x)|^{2} d x=N $$ 而由题设条件，对于 $m_{1} \neq n_{1}, m_{2} \neq n_{2}$ ，若 $m_{1} \neq m_{2}$ ，则 $m_{1}-n_{1} \neq m_{2}-n_{2}$ 。于是， $$ g(x)=\sum_{k \in \mathcal{S}_{g}} e^{2 \pi i k x} $$ 这里集合 $\mathcal{S}_{g}$ 由 $N^{2}-N$ 个两两不同的非零整数组成．这样，又有 （2）对于本小题，我们提供两种方式的证明． 法 I．注意到 $\int_{0}^{1} g(x) d x=0$ ，我们有 $$ \begin{aligned} \sqrt{N}-\int_{0}^{1}|f(x)| d x & =\int_{0}^{1}(\sqrt{N}-\sqrt{N+g(x)}) d x=-\int_{0}^{1} \frac{g(x)}{\sqrt{N}+\sqrt{N+g(x)}} d x \\ & =\int_{0}^{1}\left(\frac{g(x)}{2 \sqrt{N}}-\frac{g(x)}{\sqrt{N}+\sqrt{N+g(x)}}\right) d x \\ & =\int_{0}^{1} \frac{g^{2}(x)}{2 \sqrt{N}(\sqrt{N}+\sqrt{N+g(x)})^{2}} d x \\ & \leqslant \int_{0}^{1} \frac{g^{2}(x)}{2 N \sqrt{N}} d x=\frac{N^{2}-N}{2 N \sqrt{N}}<\frac{\sqrt{N}}{2} \end{aligned} $$ 因此， $$ \int_{0}^{1}|f(x)| d x>\frac{\sqrt{N}}{2} $$ 法 II．由 Hölder 不等式，我们有 $$ \begin{aligned} N & =\int_{0}^{1}|f(x)|^{2} d x \leqslant\left(\int_{0}^{1}|f(x)| d x\right)^{\frac{2}{3}}\left(\int_{0}^{1}|f(x)|^{4} d x\right)^{\frac{1}{3}} \\ & =\left(\int_{0}^{1}|f(x)| d x\right)^{\frac{2}{3}}\left(2 N^{2}-N\right)^{\frac{1}{3}} \end{aligned} $$ 因此， $$ \int_{0}^{1}|f(x)| d x \geqslant \sqrt{\frac{N^{3}}{2 N^{2}-N}}>\frac{\sqrt{N}}{\sqrt{2}}>\frac{\sqrt{N}}{2} . $$
3 解答题 （本题 20 分）设 $m, n$ 为大于 2 的整数，$a_{1}, \cdots, a_{m+1}$ 为任意 $m+1$ 个有理数， $\mathbb{Q}^{n \times n}$ 为有理数域上 $n$ 阶方阵全体。证明： （1） $\mathbb{Q}^{n \times n}$ 中存在 $m$ 个元素 $B_{1}, \cdots, B_{m}$ 使得行列式 $\left|B_{j}\right|=j(j=1, \cdots, m)$ 成立。 （2） $\mathbb{Q}^{n \times n}$ 中存在 $m$ 个元素 $A_{1}, \cdots, A_{m}$ 使得下列两条同时成立： （i）$\left|A_{j}\right|=a_{j}(j=1, \cdots, m)$ ； （ii）$\left|A_{1}-A_{2}-\cdots-A_{m}\right|=a_{m+1}$ ．
4 解答题 （本题 15 分）设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，其主对角线上的元素皆为 3 ，其余位置上的元素不是 2 就是 2029．证明： $\operatorname{rank} A=n$ 或 $n-1$ ． 解．令 $B=\left(\begin{array}{ccc}2 & \cdots & 2 \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ 2 & \cdots & 2\end{array}\right)$ ，且令 $C=A-B$ ，则有 $C$ 的主对角线上元素皆为 1 ，其余位置上的元素不是 0 就是 2027. 用 $\bar{m}$ 表示整数 $m$ 模 2027 所得的剩余类，将 $C$ 的每个元素模 2027，则有 $$ \bar{C}=\left(\begin{array}{ccc} \overline{1} & & \overline{0} \\ & \ddots & \\ \overline{0} & & \overline{1} \end{array}\right) $$ 于是 $$ |\bar{C}|=\overline{1}=\overline{|C|} $$ 从而 $A-B$ 是可逆的（即 $|A-B| \neq 0$ ）．于是 $$ n=\operatorname{rank}(A-B) \leqslant \operatorname{rank} A+\operatorname{rank} B=\operatorname{rank} A+1 $$ $\operatorname{rank} A=n-1$ 或 $n$ ．证毕 （15 分）
5 解答题 （本题 15 分）设 $k$ 为正整数． （1）证明：对任何 $k \geqslant 1$ ，方程 $x^{3 k+1}+x^{2}-6 x+1=0$ 在 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 内有唯一根 $x_{k}$ ； （2）证明：点列 $\left\{x_{k}\right\}$ 严格单减； （3）求极限 $\lim _{k \rightarrow+\infty} x_{k}$ ．
6 解答题 设 $f \in C^{1}[0,1]$ 满足 $$ f(x) \ln ^{2} x+x f^{\prime}(x) \leqslant 0, \quad \forall x \in(0,1) $$