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解答题 |
一、填空题（共8分，每空2分）
（1）设 $\beta>\alpha>0$ ，则 $\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-\alpha x^{2}}-e^{-\beta x^{2}}}{x^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ． |
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解答题 |
（2）若关于 $x$ 的方程 $k x+\frac{1}{x^{2}}=1(k>0)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 中有惟一实数解，则常数 $k=$ $\_\_\_\_$ ． |
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解答题 |
（3）设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续．由积分中值公式有
$$
\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t=(x-a) f(\xi)(a \leq \xi \leq x |
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解答题 |
（4）设 $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}=6$ ，则 $[(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{b}+\vec{c})] \cdot(\vec{a}+\vec{c})=$ $\_\_\_\_$ ．
二、（10分）设 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 内有定义，在 $x=0$ 处可导，且 $f(0)=0$ ．证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n^{2}}\right)=\frac{f^{\prime}(0)}{2}
$$
三、（12 分）设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续，且对于固定的 $x \in[0, \infty)$ ，当自然数 $n \rightarrow \infty$时 $f(x+n) \rightarrow 0$ ．证明函数序列 $\{f(x+n): n=1,2, \cdots\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收玫于 0 ．
四、（12 分）设 $D=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2}<1\right\}, f(x, y)$ 在 $D$ 内连续，$g(x, y)$ 在 $D$ 内连续有界，且满足条件：
（1）当 $x^{2}+y^{2} \rightarrow 1$ 时，$f(x, y) \rightarrow+\infty$ ；
（2）在 $D$ 内 $f$ 与 $g$ 有二阶偏导数，$\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=e^{f}$ 和 $\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}} \geq e^{g}$ ．
证明：$f(x, y) \geq g(x, y)$ 在 $D$ 内处处成立． |
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解答题 |
五、（共10分）分别设 $R=\{(x, y): 0 \leq x \leq 1 ; 0 \leq y \leq 1\}$
$$
R_{\varepsilon}=\{(x, y): 0 \leq x \leq 1-\varepsilon ; 0 \leq y \leq 1-\varepsilon\} .
$$
考虑 $I=\iint_{R} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{1-x y}$ 与 $I_{\varepsilon}=\iint_{R_{\varepsilon}} \frac{\mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{1-x y}$ ，定义 $I=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} I_{\varepsilon}$ ：
（1）证明 $I=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ ；
（2）利用变量替换：$\left\{\begin{array}{l}u=\frac{1}{2}(x+y) \\ v=\frac{1}{2}(y-x)\end{array}\right.$ 计算积分 $I$ 的值，并由此推出 $\frac{\pi^{2}}{6}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ ． |
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解答题 |
六、（13 分）已知两直线的方程：$L: x=y=z, L^{\prime}: \frac{x}{1}=\frac{y}{a}=\frac{z-b}{1}$ ．
（1）问：参数 $a, b$ 满足什么条件时，$L$ 与 $L^{\prime}$ 是异面直线？
（2）当 $L$ 与 $L^{\prime}$ 不重合时，求 $L^{\prime}$ 绕 $L$ 旋转所生成的旋转面 $\pi$ 的方程，并指出曲面 $\pi$ 的类型． |
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解答题 |
七、（20 分）设 $A, B$ 均为 $n$ 阶半正定实对称矩阵，且满足 $n-1 \leq \operatorname{rank} A \leq n$ ．证明存在实可逆矩阵 $C$ 使得 $C^{T} A C, ~ C^{T} B C$ 均为对角阵。 |
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解答题 |
八、（15 分）设 $V$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间，$f_{j}: V \rightarrow \mathbb{C}$ 是非零的线性函数，$j=1,2$ ．若不存在 $0 \neq c \in \mathbb{C}$ 使得 $f_{1}=c f_{2}$ ，证明：任意的 $\alpha \in V$ 都可表为 $\alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2}$ 使得
$$
f_{1}(\alpha)=f_{1}\left(\alpha_{2}\right), \quad f_{2}(\alpha)=f_{2}\left(\alpha_{1}\right)
$$ |