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数学类_决赛 |
一、填空题（共8分，每空2分） |
| 2 |
数学类_决赛 |
若关于 $x$ 的方程 $k x+\frac{1}{x^{2}}=1(k>0)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 中有惟一实数解，则常数 $k=$ $\_\_\_\_$ ． |
| 3 |
数学类_决赛 |
设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续．由积分中值公式有 |
| 4 |
数学类_决赛 |
设 $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}=6$ ，则 $[(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{b}+\vec{c})] \cdot(\vec{a}+\vec{c})=$ $\_\_\_\_$ ． |
| 5 |
数学类_决赛 |
五、（共10分）分别设 $R=\{(x, y): 0 \leq x \leq 1 ; 0 \leq y \leq 1\}$ |
| 6 |
数学类_决赛 |
六、（13 分）已知两直线的方程：$L: x=y=z, L^{\prime}: \frac{x}{1}=\frac{y}{a}=\frac{z-b}{1}$ ． |
| 7 |
数学类_决赛 |
七、（20 分）设 $A, B$ 均为 $n$ 阶半正定实对称矩阵，且满足 $n-1 \leq \operatorname{rank} A \leq n$ ．证明存在实可逆矩阵 $C$ 使得 $C^{T} A C, ~ C^{T} B C$ 均为对角阵。 |
| 8 |
数学类_决赛 |
八、（15 分）设 $V$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间，$f_{j}: V \rightarrow \mathbb{C}$ 是非零的线性函数，$j=1,2$ ．若不存在 $0 \neq c \in \mathbb{C}$ 使得 $f_{1}=c f_{2}$ ，证明：任意的 $\alpha \in V$ 都可表为 $\alpha=\alpha_{1}+\alpha… |