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数学类_初赛 |
一、（本题共 10 分）设 $\varepsilon \in(0,1), ~ x_{0}=a, ~ x_{n+1}=a+\varepsilon \sin x_{n}(n=0,1,2 \cdots)$ ． |
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数学类_初赛 |
二、（本题共 15 分）设 $B=\left(\begin{array}{ccc}0 & 10 & 30 \\ 0 & 0 & 2010 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ．证明 $X^{2}=B$ 无解，这里 $X$ 为三阶未知复方阵。 |
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数学类_初赛 |
三、（本题共 10 分）设 $D \subset \mathbb{R}^{2}$ 是凸区域，函数 $f(x, y)$ 是凸函数．证明或否定：$f(x, y)$ 在 $D$上连续． |
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数学类_初赛 |
四、（本题共 10 分）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上黎曼（Riemann）可积，在 $x=1$ 可导，$f(1)=0$ ， $f^{\prime}(1)=a$ ．证明： $\lim _{n \rightarrow+\infty} n^{2} \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=-a$ ． |
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五、（本题共 15 分）已知二次曲面 $\sum$（非退化）过以下九点： |
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六、（本题共 20 分）设 $\boldsymbol{A}$ 为 $\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{n}$ 实矩阵（未必对称），对任一 $\boldsymbol{n}$ 维实向量 $\alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right), \alpha A \alpha^{\mathbf{T}} \geq 0$（这里… |
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七、（本题共 10 分）设 $f$ 在区间 $[0,1]$ 上黎曼（Riemann）可积， $0 \leq f \leq 1$ 。求证：对任何 $\varepsilon>0$ ，存在只取值为 0 和 1 的分段（段数有限）常值函数 $g(x)$ ，使得 $\forall[\alpha, \beta] \subseteq[0,1]$ ， |
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八、（10 分）已知 $\varphi:(0,+\infty) \rightarrow(0,+\infty)$ 是一个严格单调下降的连续函数，满足 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \varphi(t)=+\infty$ ，且 $\int_{0}^{+\infty} \varphi(t) \mathrm{d} t=\int_{0}^{+\infty} \varphi^{-1… |