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数学类_初赛 |
一、（本题15分）已知四点 $(1,2,7),(4,3,3),(5,-1,6),(\sqrt{7}, \sqrt{7}, 0)$ ．试求过这四点的球面方程。 |
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二、（本题 10 分）设 $f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{n}$ 为 $[0,1]$ 上的非负连续函数，求证：存在 $\xi \in[0,1]$ ，使得 |
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数学类_初赛 |
三、（本题 15 分）设 $F^{n}$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维列空间，$\sigma: F^{n} \rightarrow F^{n}$ 是一个线性变换。若 |
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数学类_初赛 |
四、（本题 10 分）对于 $\triangle A B C$ ，求 $3 \sin A+4 \sin B+18 \sin C$ 的最大值。 |
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数学类_初赛 |
五、（本题 15 分）对于任何实数 $\alpha$ ，求证存在取值于 $\{-1,1\}$ 的数列 $\left\{a_{n}\right\}_{n \geq 1}$ 满足 |
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六、（本题 20 分）设 $A$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 阶方阵。证明：$A$ 相似于 $\left(\begin{array}{cc}B & 0 \\ 0 & C\end{array}\right)$ ，其中 $B$ 是可逆矩阵， $\boldsymbol{C}$ 是幂零阵，即存在 $\boldsymbol{m}$ 使得 $\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{m}}=\… |
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七、（本题 15 分）设 $F(x)$ 是 $[0,+\infty)$ 上的单调递减函数， $\lim _{x \rightarrow+\infty} F(x)=0$ ，且 |