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数学类_初赛 |
一、（15 分）设 $\Gamma$ 为椭圆抛物面 $z=3 x^{2}+4 y^{2}+1$ ．从原点作 $\Gamma$ 的切锥面。求切锥面的方程。 |
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二、（15 分）设 $\Gamma$ 为抛物线，$P$ 是与焦点位于抛物线同侧的一点。过 $P$ 的直线 $L$ 与 $\Gamma$ 围成的有界区域的面积记作 $A(L)$ 。证明：$A(L)$ 取最小值当且仅当 $P$ 恰为 $L$ 被 $\Gamma$ 所截出的线段的中点。 |
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三、（10 分）设 $f \in C^{1}[0,+\infty), f(0)>0, f^{\prime}(x) \geq 0, \forall x \in[0,+\infty)$ ．已知 |
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四、（10 分）设 $A, B, C$ 均为 $n$ 阶正定矩阵，$P(t)=A t^{2}+B t+C, f(t)=\operatorname{det} P(t)$ ，其中 $t$ 为未定元， $\operatorname{det} P(t)$ 表示 $P(t)$ 的行列式。若 $\lambda$ 是 $f(t)$ 的根，试证明： $\operatorname{Re}(\lambda)<0$ ，… |
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五、（10 分）已知 $\frac{(1+x)^{n}}{(1-x)^{3}}=\sum_{i=0}^{\infty} a_{i} x^{i},|x|<1, n$ 为正整数，求 $\sum_{i=0}^{n-1} a_{i}$ ． |
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六、（15 分）设 $f:[0,1] \rightarrow R$ 可微， |
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七、（25 分）已知实矩阵 $A=\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 2 & a\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}4 & b \\ 3 & 1\end{array}\right)$ ．证明： |