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解答题 |
一、（本题 15 分）设 $S$ 为 $\mathrm{R}^{3}$ 中的抛物面 $z=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right), ~ P=(a, b, c)$ 为 $S$ 外一固定点，满足 $a^{2}+b^{2}>2 c$ ．过 $P$ 作 $S$ 的所有切线．证明：这些切线的切点落在同一张平面上． |
| 2 |
解答题 |
二、（本题 15 分）设实二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=x^{T} A x$ ，其中
$$
x=\left(\begin{array}{l}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
x_{4}
\end{array}\right), A=\left(\begin{array}{cccc}
2 & a_{0} & 2 & -2 \\
a & 0 & b & c \\
d & e & 0 & f \\
g & h & k & 4
\end{array}\right),
$$
$a_{0}, a, b, c, d, e, f, g, h, k$ 皆为实数。已知 $\lambda_{1}=2$ 是 $A$ 的一个几何重数为 3 的特征值。试回答以下问题：
（1） $\boldsymbol{A}$ 能否相似于对角矩阵；若能，请给出证明；若不能，请给出例子；
（2）当 $a_{0}=2$ 时，试求 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)$ 在正交变换下的标准型． |
| 3 |
解答题 |
三、（本题 15 分）设 $n$ 阶实方阵 $A=\left(\begin{array}{ccccc}a_{1} & b_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ * & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ * & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ * & \ddots & \ddots & \ddots & b_{n-1} \\ * & \cdots & \cdots & \cdots & a_{n}\end{array}\right)$ 有 $n$ 各线性无关的特征向量， $b_{1}, \cdots, b_{n-1}$ 均不为 0 。记 $W=\left\{X \in R^{n \times n} \mid X A=A X\right\}$ 。证明：$W$ 是实数域 $R$ 上的向量空间，且 $I, A, \cdots, A^{n-1}$ 为其一组基，其中 $I$ 为 $n$ 阶单位阵。 |
| 4 |
解答题 |
四、（本题 15 分）设 $f(x, y)$ 为 $[a, b] \times R$ 上关于 $y$ 单调下降的二元函数。设 $y=y(x), z=z(x)$ 是可微函数，且满足：
$$
y^{\prime}=f(x, y), z^{\prime} \leq f(x, z), x \in[a, b]
$$
已知 $z(a) \leq y(a)$ ．求证：$z(x) \leq y(x), x \in[a, b]$ ． |
| 5 |
解答题 |
五、（本题 20 分）设 $f(x)$ 是 $[0,+\infty)$ 上非负可导函数，
$$
f(0)=0, f^{\prime}(x) \leq \frac{1}{2}
$$
假设 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。求证：对于任意 $\alpha>1, \int_{0}^{+\infty} f^{\alpha}(x) \mathrm{d} x$ 也收敛，并且
$$
\int_{0}^{+\infty} f^{\alpha}(x) \mathrm{d} x \leq\left(\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x\right)^{\beta}, \beta=\frac{\alpha+1}{2}
$$ |
| 6 |
解答题 |
六、（本题 20 分）对多项式 $f(x)$ ，记 $\mathrm{d}(f)$ 表示其最大和最小实根之间的距离．设 $n \geq 2$ 为自然数．求最大实数 $C$ ，使得对任意所有根都是实数的 $n$ 次多项式 $f(x)$ ，都有
$$
\mathrm{d}\left(f^{\prime}\right) \geq C \mathrm{~d}(f)
$$ |