| 1 |
解答题 |
一、（本题 15 分）设 $S$ 为 $\mathrm{R}^{3}$ 中的抛物面 $z=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right), ~ P=(a, b, c)$ 为 $S$ 外一固定点，满足 $a^{2}+b^{2}>2 c$ ．过 $P$ 作 $S$ 的所有切线．证明：这些切线的切点落在同一张平面上． |
| 2 |
解答题 |
二、（本题 15 分）设实二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=x^{T} A x$ ，其中
$$
x=\left(\begin{array}{l}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
x_{4}
\end{array}\right), A=\left(\begin{array}{cccc}
2 & a_{0} & 2 & -2 \\
a & 0 & b & c \\
d & e & 0 & f \\
g & h & k & 4
\end{array}\right),
$$
$a_{0}, a, b, c, d, e, f, g, h, k$ 皆为实数。已知 $\lambda_{1}=2$ 是 $A$ 的一个几何重数为 3 的特征值。试回答以下问题：
（1） $\boldsymbol{A}$ 能否相似于对角矩阵；若能，请给出证明；若不能，请给出例子；
（2）当 $a_{0}=2$ 时，试求 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)$ 在正交变换下的标准型。 |
| 3 |
解答题 |
三、（本题20分）设 $f(x)$ 是 $[0,+\infty)$ 上非负可导函数，
$$
f(0)=0, f^{\prime}(x) \leq \frac{1}{2} .
$$
假设 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。求证：对于任意 $\alpha>1, \int_{0}^{+\infty} f^{\alpha}(x) \mathrm{d} x$ 也收敛，并且
$$
\int_{0}^{+\infty} f^{\alpha}(x) \mathrm{d} x \leq\left(\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x\right)^{\beta}, \beta=\frac{\alpha+1}{2}
$$ |
| 4 |
解答题 |
四、（本题 20 分）对多项式 $f(x)$ ，记 $\mathrm{d}(f)$ 表示其最大和最小实根之间的距离。设 $n \geq 2$ 为自然数．求最大实数 $C$ ，使得对任意所有根都是实数的 $n$ 次多项式 $f(x)$ ，都有
$$
\mathrm{d}\left(f^{\prime}\right) \geq C \mathrm{~d}(f) .
$$ |
| 5 |
解答题 |
五、（常微分方程 15 分）设 $f(x, y)$ 为 $[a, b] \times R$ 上关于 $y$ 单调下降的二元函数．设 $y=y(x), z=z(x)$ 是可微函数，且满足：
$$
y^{\prime}=f(x, y), z^{\prime} \leq f(x, z), x \in[a, b]
$$
已知 $z(a) \leq y(a)$ ．求证：$z(x) \leq y(x), x \in[a, b]$ ． |
| 6 |
选择题 |
六、（复变函数 15 分）设 $D=\{z \in C:|z|<1\}$ 是单位圆盘，非常数函数 $f(z)$ 在 $\bar{D}$ 上解析，且当 $|z|=1$ 时，$|f(z)|=1$ 。证明：$f |
| 7 |
解答题 |
七、（实变函数 15 分）设 $E_{k}$ 是一列可测集，$f \in L_{\left(\cup_{k=1}^{\infty} E_{k}\right)^{\prime}}$ ．
1）令 $A=\varlimsup_{k \rightarrow \infty} E_{k}$ ，证明 $\int_{A} f(x) \mathrm{d} m=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{\bigcup_{k=n}^{\infty} E_{k}} f(x) \mathrm{d} m$ ．
2）令 $B=\underline{\lim }_{k \rightarrow \infty} E_{k}$ ，证明 $\int_{B} f(x) \mathrm{d} m=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{\bigcap_{k=n}^{\infty} E_{k}} f(x) \mathrm{d} m$ ．
3）如果 $\left\{E_{k}\right\}$ 是单调的．求证： $\lim _{k \rightarrow \infty} E_{k}=E$ 存在，且有
$$
\int_{E} f(x) \mathrm{d} m=\lim _{k \rightarrow \infty} \int_{E_{k}} f(x) \mathrm{d} m
$$ |
| 8 |
解答题 |
八、（微分几何 15 分）设 $\Gamma$ 是三维欧氏空间中一张平面上的一条抛物线，$l$ 是 $\Gamma$ 的准线．将 $\Gamma$绕其准线 $l$ 旋转一周，得到旋转曲面 $S$ ．求 $S$ 的两个主曲率的比值． |
| 9 |
解答题 |
九、（概率统计 15 分）一只盒子中装有标上 1 到 $N$ 的 $N$ 张票券，有放回地—张—张的抽取，若我们想收集 $r$ 张不同的票券，则要期望抽多少次才能得到它们？当然假设取得每张票券是等可能的，各次抽取是独立的． |
| 10 |
解答题 |
十、（抽象代数 15 分）设群 $G=A B$ ，其中 $A, B$ 均为 $G$ 的 Abel 子群，且 $A B=B A$ ． $\forall g_{1}, g_{2} \in G$ ，用 $\left[g_{1}, g_{2}\right]$ 表示换位子，即 $\left[g_{1}, g_{2}\right]=g_{1} g_{2} g_{1}^{-1} g_{2}^{-1}$ ，$G^{\prime}$ 表示 $G$ 的换位子群 （即由 $\boldsymbol{G}$ 的换位子所生成的子群）。证明：
（a）$\forall a, x \in A, \forall b, y \in B$ 有下式成立：
$$
\left[x^{-1}, y^{-1}\right][a, b]\left[x^{-1}, y^{-1}\right]^{-1}=[a, b] .
$$
（b）$G^{\prime}$ 为 Abel 群．
十一、（数值分析 15 分）给定多项式序列
$$
\begin{aligned}
& T_{0}(x)=1, T_{1}(x)=x \\
& T_{n+1}(x)=2 x T_{n}(x)-T_{n-1}(x), n=1,2, \cdots
\end{aligned}
$$
求证：（1）当 $x \in[-1,1]$ 时，$T_{n}(x)=\cos (n \arccos x)$ ．
（2）设 $C[-1,1]$ 是区间 $[-1,1]$ 上连续函数构成的内积空间，其中内积定义为
$$
:=\int_{-1}^{1} \frac{f(x) g(x)}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x
$$
则 $T_{n}(x)$ 是该内积空间的正交多项式，即当 $n \neq m$ 时，$=0$ ．
（3）设 $P(x)$ 是次数为 $n$ 的首项系数为 1 的多项式，求证：$\|P(x)\|_{\infty} \geq \frac{1}{2^{n-1}}$ 且等号成立当且仅当 $P(x)=\frac{1}{2^{n-1}} T_{n}(x)$ ，这里 $\|P(x)\|_{\infty}=\max _{x \in[-1,1]}|P(x)|$ ． |