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数学类_初赛 |
一、（本题 15 分）平面 $R^{2}$ 上两个半径为 $r$ 的圆 $C_{1}, C_{2}$ 外切于 $P$ 点，将圆 $C_{2}$ 沿 $C_{1}$ 的圆周（无滑动）滚动一周，这时 $C_{2}$ 上的 $P$ 点也随 $C_{2}$ 的运动而运动。记 $\Gamma$ 为 $P$ 点的运动轨迹曲线，称为心脏线。现设 $\boldsymbol{C}$ 为以 $\boldsymbol{… |
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二、（本题 10 分）设 $n$ 阶方阵 $B(t)$ 和 $n \times 1$ 矩阵 $b(t)$ 分别为 |
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三、（本题 15 分）设 $f(x)$ 在区间 $[0, a]$ 上有二阶连续导数，$f^{\prime}(0)=1, f^{\prime \prime}(0) \neq 0$ 且 $0 |
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四、（本题 15 分）设 $a>1$ ，函数 $f:(0,+\infty) \rightarrow(0,+\infty)$ 可微，求证：存在趋于无穷的正数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 使得 $f^{\prime}\left(x_{n}\right) |
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五、（本题 20 分）设 $f:[-1,1] \rightarrow R$ 为偶函数，$f$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，又设 $g$ 是 $[-1,1]$ 上的凸函数，即对任意 $x, y \in[-1,1]$ 及 $t \in(0,1)$ 有 |
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六、（本题 25 分）设 $\boldsymbol{R}^{n \times n}$ 为 $n$ 阶实方阵全体， $\boldsymbol{E}_{i j}$ 为 $(i, j)$ 位置元素为 1 ，其余位置元素为 0 的 $n$ 阶方阵，$i, j=1,2, \cdots, n$ 。让 $\Gamma_{r}$ 为秩等于 $r$ 的 $n$ 阶实方阵全体，$r=0,1,2, \cdots, n$… |