| 1 |
解答题 |
（1）实二次型 $2 x_{1} x_{2}-x_{1} x_{3}+5 x_{2} x_{3}$ 的规范型为 $\_\_\_\_$ ． |
| 2 |
解答题 |
（2）级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^{n}}$ 的和为 $\_\_\_\_$ ． |
| 3 |
解答题 |
（3）计算 $\boldsymbol{I}=\iint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}\left(x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}\right) \mathrm{d} S=$ $\_\_\_\_$ ． |
| 4 |
选择题 |
（4）$A=\left(a_{i j}\right)$ 为 $n$ 阶实对称矩阵 $(n>1), ~ \operatorname{rank} |
| 5 |
解答题 |
五、（本题 15 分）$a(t), f(t)$ 为实连续函数，$\forall t \in R$ ，有
$$
f(t)>0, a(t) \geq 1, \int_{0}^{\infty} f(t) \mathrm{d} t=+\infty
$$
已知 $x(t)$ 满足 $x^{\prime \prime}(t)+a(t) f(x(t)) \leq 0, \forall t \in R$ ．求证：$x(t)$ 在 $[0,+\infty)$ 有上界． |
| 6 |
解答题 |
六、（本题15分）设 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续可导，且 $f(0)=f(1)=0$ ．求证：
$$
\left[\int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x\right]^{2} \leq \frac{1}{45} \int_{0}^{1}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x
$$
等号当且仅当 $f(x)=A\left(x-x^{3}\right)$ 时成立，其中 $A$ 是常数． |