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解答题 |
一、填空题（本题20分，每小题5分）
（1）实二次型 $2 x_{1} x_{2}-x_{1} x_{3}+5 x_{2} x_{3}$ 的规范型为 $\_\_\_\_$ ． |
| 2 |
解答题 |
（2）级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^{n}}$ 的和为 $\_\_\_\_$ ． |
| 3 |
解答题 |
（3）计算 $I=\iint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}\left(x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}\right) \mathrm{d} S=$ $\_\_\_\_$ ． |
| 4 |
选择题 |
（4）$A=\left(a_{i j}\right)$ 为 $n$ 阶实对称矩阵 $(n>1), ~ \operatorname{rank} |
| 5 |
解答题 |
五、（本题 15 分）$a(t), f(t)$ 为实连续函数，$\forall t \in R$ ，有
$$
f(t)>0, a(t) \geq 1, \int_{0}^{\infty} f(t) \mathrm{d} t=+\infty
$$
已知 $x(t)$ 满足 $x^{\prime \prime}(t)+a(t) f(x(t)) \leq 0, \forall t \in R$ ．求证：$x(t)$ 在 $[0,+\infty)$ 有上界． |
| 6 |
解答题 |
六、（本题 10 分，复变函数）设 $a, b$ 是两个不同的复数，求满足方程
$$
\left(f^{\prime}(z)\right)^{2}=(f(z)-a)(f(z)-b)
$$
的非常数整函数 $f(z)$ ． |
| 7 |
解答题 |
七、（本题 10 分，实变函数）设 $f(x)$ 是 $R^{1}$ 上的 Lipschitz 函数，Lipschitz 常数为 $K$ ，则对任意的可测集 $E \subset R^{1}$ ，均有 $m(f(E)) \leq K \cdot m(E)$ ． |
| 8 |
解答题 |
八、（本题 10 分，微分几何）设三维空间的曲面 $S$ 满足：
（1）$P_{0}=(0,0,-1) \in S$ ；
（2）对任意 $P \in S,|\overrightarrow{O P}| \leq 1$ ，其中 $O$ 是原点．
证明：曲面 $S$ 在 $P_{0}$ 的 Gauss 曲率 $K\left(P_{0}\right) \geq 1$ ． |
| 9 |
解答题 |
九、（本题 10 分，数值分析）考虑求解线性方程组 $A x=b$ 的如下迭代格式
$$
(\alpha D-C) x^{(k+1)}=\left((\alpha-1) D+C^{T}\right) x^{(k)}+b
$$
其中 $D$ 为实对称正定方阵，$C$ 是满足 $C+C^{T}=D-A$ 的实方阵，$\alpha$ 为实数。若 $A$ 是实对称正定方阵，且 $\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{D}-\boldsymbol{C}$ 可逆， $\boldsymbol{\alpha}>\frac{1}{2}$ 。证明：上述迭代格式对任何初始向量 $\boldsymbol{x}^{(0)}$ 收敛。 |
| 10 |
解答题 |
十、（本题 10 分，抽象代数）设 $R$ 为 $[0,1]$ 上的连续函数环，其加法为普通的函数加法，乘法为普通的函数乘法．$I$ 为 $R$ 的一个极大左理想．证明：$\forall f, g \in I, f$ 与 $g$ 在 $[0,1]$ 上必有公共的零点。
十一、（本题 10 分，概率统计）设在国际市场上对我国某种出口商品每年的需求量 $\boldsymbol{X}$（单位：吨）是随机变量，$X$ 服从 $[100,200]$ 上的均匀分布．每出售这种商品一吨，可以为国家挣得外汇 3 万元；若销售不出而囤积于仓库，则每吨需要花费保养费用 1 万元．求：应组织多少吨货源，才能使得国家的收益最大？ |