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解答题 |
（1）设 $\boldsymbol{\Gamma}$ 为形如下列形式的2016阶矩阵全体：矩阵的每行每列只有一个非零元素，且该非零元素为 1，则 $\sum_{A \in \Gamma}|A|=$ $\_\_\_\_$ ． |
| 2 |
解答题 |
（2）令 $a_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{p}$ 收敛，则 $p$ 取值范围 |
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解答题 |
（3）设 $D: x^{2}+2 y^{2} \leq 2 x+4 y$ ，则积分 $I=\iint_{D}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ |
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解答题 |
（4）若实向量 $X=(a, b, c)$ 的三个分量 $a, b, c$ 满足 $\left(\begin{array}{ll}a & b \\ 0 & c\end{array}\right)^{2016}=I_{2}$ ，则 $X=$ $\_\_\_\_$或 $\_\_\_\_$或 $\_\_\_\_$或 $\_\_\_\_$。
二、（本题 15 分）在空间直角坐标系中，设 $S$ 为椭圆柱面 $x^{2}+2 y^{2}=1$ ，$\sigma$ 是空间中的平面，它与 $S$ 的交集为一个圆．求所有这样平面 $\sigma$ 的法向量．
三、（本题 15 分）设 $A, B$ 为 $n$ 阶实对称矩阵。证明 $\operatorname{tr}\left((A B)^{2}\right) \leq \operatorname{tr}\left(A^{2} B^{2}\right)$ ．
四、（本题 20 分）设单位圆 $\Gamma$ 的外切 $n$ 边形 $A_{1} A_{2} \cdots A_{n}$ 各边与 $\Gamma$ 分别切于 $B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{n}$ ．令 $P_{A}, P_{B}$ 分别表示多边形 $A_{1} A_{2} \cdots A_{n}$ 与 $B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{n}$ 的周长．求证：$P_{A}^{\frac{1}{3}} P_{B}^{\frac{2}{3}}>2 \pi$ ． |
| 5 |
解答题 |
五、（本题 15 分）设 $a(x), f(x)$ 为 $R$ 上的连续函数，且对任意 $x \in R$ 有 $a(x)>0$ 。已知
$$
\int_{0}^{\infty} a(x) \mathrm{d} x=+\infty, \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{a(x)}=0, y^{\prime}(x)+a(x) y(x)=f(x), x \in R
$$
求证： $\lim _{x \rightarrow+\infty} y(x)=0$ ． |
| 6 |
解答题 |
六、（本题15分）设 $f(x)$ 是定义在 $\boldsymbol{R}$ 上的连续函数，且满足方程
$$
x f(x)=2 \int_{\frac{x}{2}}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\frac{x^{2}}{4}
$$
求 $f(x)$ ． |