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解答题 |
一、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
（1）设 $\boldsymbol{\Gamma}$ 为形如下列形式的2016阶矩阵全体：矩阵的每行每列只有一个非零元素，且该非零元素为 1，则 $\sum_{A \in \Gamma}|A|=$ $\_\_\_\_$ ． |
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解答题 |
（2）令 $a_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{p}$ 收敛，则 $p$ 取值范围 |
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解答题 |
（3）设 $D: x^{2}+2 y^{2} \leq 2 x+4 y$ ，则积分 $I=\iint_{D}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ |
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解答题 |
（4）若实向量 $X=(a, b, c)$ 的三个分量 $a, b, c$ 满足 $\left(\begin{array}{ll}a & b \\ 0 & c\end{array}\right)^{2016}=I_{2}$ ，则 $X=$ $\_\_\_\_$或 $\_\_\_\_$或 $\_\_\_\_$或 $\_\_\_\_$。
二、（本题 15 分）在空间直角坐标系中，设 $S$ 为椭圆柱面 $x^{2}+2 y^{2}=1$ ，$\sigma$ 是空间中的平面，它与 $S$ 的交集为一个圆．求所有这样平面 $\sigma$ 的法向量．
三、（本题 15 分）设 $A, B$ 为 $n$ 阶实对称矩阵。证明 $\operatorname{tr}\left((A B)^{2}\right) \leq \operatorname{tr}\left(A^{2} B^{2}\right)$ ．
四、（本题 20 分）设单位圆 $\Gamma$ 的外切 $n$ 边形 $A_{1} A_{2} \cdots A_{n}$ 各边与 $\Gamma$ 分别切于 $B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{n}$ ．令 $P_{A}, P_{B}$ 分别表示多边形 $A_{1} A_{2} \cdots A_{n}$ 与 $B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{n}$ 的周长．求证：$P_{A}^{\frac{1}{3}} P_{B}^{\frac{2}{3}}>2 \pi$ ． |
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解答题 |
五、（本题 10 分，抽象代数）设 $u_{1}, v_{1}, u_{2}, v_{2}$ 为群 $G$ 中的元素，满足
$$
u_{1} v_{1}=v_{1} u_{1}=u_{2} v_{2}=v_{2} u_{2} .
$$
若 $u_{1}, u_{2}$ 的阶均为 $8, ~ v_{1}, v_{2}$ 的阶均为 13．证明：$u_{1} u_{2}$ 的阶为 4 及 $v_{1} v_{2}$ 的阶为 13 ． |
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解答题 |
六、（本题 10 分，实变函数）设 $E \subset R^{1}, ~ E$ 是 $L-$ 可测的，若 $m(E)>a>0$ ，则存在无内点的有界闭集 $\boldsymbol{F} \subset \boldsymbol{E}$ ，使得 $m(\boldsymbol{F})=\boldsymbol{a}$ ． |
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解答题 |
七、（本题 10 分，微分几何）设 $\gamma(s), s \in[0, l]$ 是空间中—条光滑闭曲线，以弧长为参数，且曲率 $k>0$ ．设 $\beta:[0, l] \rightarrow S^{2}$ 为单位球面上由 $\gamma(s)$ 的单位主法向量构成的一条简单闭曲线 $B$ ．证明：$B$ 将球面分成面积相等的两个部分． |
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解答题 |
八、（本题 10 分，数值分析）实系数多项式 $p(x)$ 的模 1 范数定义为：
$$
\|p\|_{1}:=\int_{0}^{1}|p(x)| \mathrm{d} x
$$
1．求二次实系数多项式 $p(x)$ 使得 $p(x) \leq x^{3}$ ，对任意 $x \in[0,1]$ 成立，且 $\left\|x^{3}-p(x)\right\|_{1}$ 达到最小．
2．求三次实系数多项式 $p(x)$ 使得 $p(x) \leq x^{4}$ ，对任意 $x \in[0,1]$ 成立，且 $\left\|x^{4}-p(x)\right\|_{1}$ 达到最小。 |
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解答题 |
九、（本题10分，复变函数）设 $D=\{z \in C:|z|<1\}$ 是单位圆盘，$f(z)$ 在 $D$ 上解析， $f(0)=0$ ，且在 $D$ 上有 $\operatorname{Re} f(z) \leq 1$ 。求证：在 $D$ 上有 $\operatorname{Re} f(z) \leq \frac{2|z|}{1+|z|}$ 。 |
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解答题 |
十、（本题 10 分，概率统计）甲袋中有 $N-1(N>1)$ 个白球和 1 个黑球，乙袋中有 $N$ 个白球，每次从甲乙两袋中分别取出一个球并交换放入另一袋中，这样经过了 $n$ 次，求黑球出现在甲袋中的概率 $p_{n}$ ，并计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} p_{n}$ 。 |