| 1 |
解答题 |
（1）设 $x^{4}+3 x^{2}+2 x+1=0$ 的 4 个根为 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ ，则
$$
\left|\begin{array}{llll}
\alpha_{1} & \alpha_{2} & \alpha_{3} & \alpha_{4} \\
\alpha_{2} & \alpha_{3} & \alpha_{4} & \alpha_{1} \\
\alpha_{3} & \alpha_{4} & \alpha_{1} & \alpha_{2} \\
\alpha_{4} & \alpha_{1} & \alpha_{2} & \alpha_{3}
\end{array}\right|=
$$
$\_\_\_\_$ |
| 2 |
解答题 |
（2）设 $a$ 为实数，关于 $x$ 的方程 $3 x^{4}-8 x^{3}-30 x^{2}+72 x+a=0$ 有虚根的充分必要条件是 $\boldsymbol{a}$ 满足 $\_\_\_\_$ ． |
| 3 |
解答题 |
（3）计算曲面积分 $I=\iint_{S} \frac{a x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(z+a)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}(a>0$ 为常数），其中 $S: z=-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ ，取上侧，则 $I=$ $\_\_\_\_$ ． |
| 4 |
解答题 |
（4）记两个特征值为 1,2 的 2 阶实对称矩阵的全体为 $\Gamma . \forall A \in \Gamma, a_{12}$ 表示 $A$ 的 $(2,1)$ 位置元素，则集合 $\cup_{A \in \Gamma}\left\{a_{21}\right\}$ 的最小元等于 $\_\_\_\_$。
第二题：在空间直角坐标系中设旋转抛物面 $\Gamma$ 的方程为 $z=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)$ ．设 $P$ 为空间中的平面，它交抛物面 $\Gamma$ 于交线 $C$ ．问：$C$ 是何种类型的曲线？证明你的结论．
第三题：证明题：设 $n$ 阶方阵 $A, B$ 满足：秩 $(A B A)=$ 秩 $ |
| 5 |
解答题 |
第五题：设 $n>1$ 为正整数，令 $S_{n}=\left(\frac{1}{n}\right)^{n}+\left(\frac{2}{n}\right)^{n}+\cdots+\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n}$ ．
1．证明：数列 $S_{n}$ 单调增加且有界，从而极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}$ 存在；
2．求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}$ ． |
| 6 |
解答题 |
第六题：求证：常微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=-y^{3}+\sin x, x \in[0,2 \pi]$ 有唯一的满足 $y(0)=y(2 \pi)$ 的解． |