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解答题 |
一、填空题：
（1）设 $x^{4}+3 x^{2}+2 x+1=0$ 的4 个根为 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ ，则
$$
\left|\begin{array}{llll}
\alpha_{1} & \alpha_{2} & \alpha_{3} & \alpha_{4} \\
\alpha_{2} & \alpha_{3} & \alpha_{4} & \alpha_{1} \\
\alpha_{3} & \alpha_{4} & \alpha_{1} & \alpha_{2} \\
\alpha_{4} & \alpha_{1} & \alpha_{2} & \alpha_{3}
\end{array}\right|=
$$
$\_\_\_\_$ |
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解答题 |
（2）设 $a$ 为实数，关于 $x$ 的方程 $3 x^{4}-8 x^{3}-30 x^{2}+72 x+a=0$ 有虚根的充分必要条件是 $a$ 满足 $\_\_\_\_$ ． |
| 3 |
解答题 |
（3）计算曲面积分 $I=\iint_{S} \frac{a x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(z+a)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}(a>0$ 为常数），其中 $S: z=-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ ，取上侧，则 $I=$ $\_\_\_\_$ ． |
| 4 |
解答题 |
（4）记两个特征值为 1,2 的 2 阶实对称矩阵的全体为 $\Gamma . \forall \boldsymbol{A} \in \Gamma, \boldsymbol{a}_{\mathbf{1 2}}$ 表示 $\boldsymbol{A}$ 的 $(\mathbf{2 , 1})$ 位置元素，则集合 $\cup_{A \in \Gamma}\left\{a_{21}\right\}$ 的最小元等于 $\_\_\_\_$ ．
第二题：在空间直角坐标系中设旋转抛物面 $\Gamma$ 的方程为 $z=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)$ ．设 $P$ 为空间中的平面，它交抛物面 $\Gamma$ 于交线 $C$ ．问：$C$ 是何种类型的曲线？证明你的结论．
第三题：证明题：设 $n$ 阶方阵 $A, B$ 满足：秩 $(A B A)=$ 秩 $ |
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解答题 |
第五题：（抽象代数）设 $(F,+, \cdot)$ 是特征为 $p(p \neq 0)$ 的域， 1 和 0 分别为 $F$ 的单位元和零元。若 $\varphi$ 为其加群（ $\boldsymbol{F},+$ ）到其乘法半群（ $\boldsymbol{F},$. ）的同态，即 $\forall \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \boldsymbol{F}$ 有 $\varphi(x+y)=\varphi(x) \varphi(y)$ 。证明：$\varphi$ 要么将 $F$ 的所有元映照为 0 ，要么将 $F$ 的所有元映照为 1. |
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解答题 |
第六题：（实变函数）（1）设 $\boldsymbol{E}$ 是三分 Cantor 集，证明 $\chi_{E}(x)$ 不是 $[0,1]$ 上的有界变差函数。（2）设 $\boldsymbol{E} \subset[0,1]$ ，证明 $\chi_{\boldsymbol{E}}(x)$ 在 $[0,1]$ 上有界变差的充要条件是 $\boldsymbol{E}$ 的边界点集是有限集。 |
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解答题 |
第七题：（微分几何）设 $S$ 为三维欧式空间中的一张连通光滑的正则曲面，过 $S$ 上每一点都存在不同的三条直线落在曲面 $S$ 上。证明：$S$ 是平面的一部分。 |
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解答题 |
第八题：（数值分析）考虑求解一阶常微分方程的初值问题 $\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=f(x, y) \\ y\left(x_{0}\right)=y_{0}\end{array}\right.$ 的 Runge－Kutta 法。
（1）确定下列三级三阶 Runge－Kutta 法中的所有特定参数化：
$$
y_{n+1}=y_{n}+h\left(c_{1} K_{1}+c_{2} K_{2}+c_{3} K_{3}\right)
$$
其中 $K_{1}=f\left(x_{n}, y_{n}\right), K_{2}=f\left(x_{n}+a h, y_{n}+b_{21} h K_{1}\right)$ ，
$$
K_{3}=f\left(x_{n}+a_{3} h, y_{n}+b_{31} h K_{1}+b_{32} h K_{2}\right)
$$
（2）讨论上述 Runge－Kutta 法格式的稳定性． |
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解答题 |
第九题：（复变函数）设函数 $f(z)$ 在单位圆 $|z|<1$ 内解析，并且 $|f(z)| \leq M(M>0), M$为常数。证明：$\left|f^{\prime}(0)\right| \leq M-\frac{|f(0)|^{2}}{M}$ ． |
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解答题 |
第十题：（概率统计）设 $\left\{\boldsymbol{X}_{n}\right\}$ 是独立同分布的随机变量序列，且
$$
P\left(X_{n}=0\right)=P\left(X_{n}=a\right)=\frac{1}{2}
$$
其中常数 $a>0$ 。记 $Y_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{X_{k}}{2^{k}}$ ，求 $Y_{n}$ 的特征函数，并证明其分布收玫于区间 $[0, a]$ 上的均匀分布。 |