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数学类_初赛 |
一、（本题15分）设 $\boldsymbol{S}$ 是空间中的一个椭球面。设方向为常向量 $\boldsymbol{V}$ 的一束平行光照射 $\boldsymbol{S}$ ，其中部分光线与 $S$ 相切，它们的切点在 $S$ 上形成一条曲线 $\Gamma$ ．证明：$\Gamma$ 落在一张过椭球中心的平面上。 |
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数学类_初赛 |
二、（本题 15 分）设 $n$ 为奇数，$A, B$ 为两个实 $n$ 阶方阵，且 $B A=0$ 。记 $A+J_{A}$ 的特征值集合为 $S_{1}, ~ B+J_{B}$ 的特征值集合为 $S_{2}$ ，其中 $J_{A}, J_{B}$ 分别表示 $A, B$ 的 Jordan 标准型。求证： $0 \in S_{1} \cup S_{2}$ ． |
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三、（本题20分）设 $A_{1}, \cdots, A_{2017}$ 为2016阶实方阵。证明关于 $x_{1}, \cdots, x_{2017}$ 的方程 |
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四、（本题20分）设 $f_{0}(x), f_{1}(x)$ 是 $[0,1]$ 上正连续函数，满足 $\int_{0}^{1} f_{0}(x) \mathrm{d} x \leq \int_{0}^{1} f_{1}(x) \mathrm{d} x$ 。 |
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五、（本题 15 分）设 $\alpha>1$ ．求证：不存在 $[0,+\infty)$ 上的正可导函数 $f(x)$ 满足 |
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六、（本题 15 分）设 $f(x), g(x)$ 是 $[0,1]$ 区间上的单调递增函数，满足 |