| 1 |
解答题 |
（1）设实方阵 $H_{1}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right), H_{n+1}=\left(\begin{array}{cc}H_{n} & I \\ I & H_{n}\end{array}\right), n \geq 1$ ，其中 $I$ 是与 $H_{n}$ 同阶的单位方阵，则 $\operatorname{rank}\left(H_{4}\right)=$ $\_\_\_\_$ ． |
| 2 |
解答题 |
（2） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+\tan x)-\ln (1+\sin x)}{x^{3}}=$ $\_\_\_\_$ ． |
| 3 |
解答题 |
（3）设 $\Gamma$ 为空间曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\pi \sin (t / 2) \\ y=t-\sin t \\ z=\sin 2 t\end{array}\right.$ 从 $t=0$ 到 $t=\pi$ 的一段，则第二型曲线积分 $\int_{\Gamma} e^{\sin x}(\cos x \cos y d x-\sin y d y)+\cos z d z=$ $\_\_\_\_$ ． |
| 4 |
解答题 |
（4）设二次型 $f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) A\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right)$ 的矩阵 $A$ 为
$$
\left(\begin{array}{ccccc}
1 & a & a & \cdots & a \\
a & 1 & a & \cdots & a \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a & \cdots & a & 1 & a \\
a & a & \cdots & a & 1
\end{array}\right)
$$
其中 $n>1, a \in R$ ，则 $f$ 在正交变换下的标准形为 $\_\_\_\_$ ．
二、（本题15分）在空间直角坐标系下，设有椭球面
$$
S: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1, \quad a, b, c>0
$$
及 $S$ 外部一点 $A\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ ，过 $A$ 点且与 $S$ 相切的所有直线构成锥面 $\Sigma$ 。证明：存在平面 $\Pi$ ，使得交线 $S \cap \Sigma=S \cap \Pi$ ；同时求出平面 $\Pi$ 的方程．
三、（本题 15 分）设 $A, B, C$ 均为 $n$ 阶复方阵，且满足
$$
A B-B A=C, \quad A C=C A, \quad B C=C B
$$
（1）证明：$C$ 是幂零方阵；
（2）证明： $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 同时相似于上三角阵；
（3）若 $C \neq 0$ ，求 $n$ 的最小值．
四、（本题 20 分）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有二阶连续导函数，且 $f(0) f(1) \geq 0$ ．求证：
$$
\int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leq 2 \int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x
$$ |
| 5 |
解答题 |
五、（本题15 分）设 $\alpha \in(1,2),(1-x)^{\alpha}$ 的麦克劳林级数为 $\sum_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k}, n \times n$ 实常数矩阵 $A$为幂零矩阵，$I$ 为单位阵．设矩阵值函数 $G(x)$ 定义为
$$
G(x) \equiv\left(g_{i j}(x)\right):=\sum_{k=0}^{\infty} a_{k}(x I+A)^{k}, \quad 0 \leq x<1
$$
试证对于 $1 \leq i, j \leq n$ ，积分 $\int_{0}^{1} g_{i j}(x) \mathrm{d} x$ 均存在的充分必要条件是 $A^{3}=0$ ． |
| 6 |
解答题 |
六、（本题 15 分）有界连续函数 $g(t): \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ 满足 $1C_{1}>0$ 满足
$$
C_{1} x(t)<|\dot{x}(t)| |