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解答题 |
一、填空题（本题满分20分，每小题5分）
（1）设实方阵 $H_{1}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right), H_{n+1}=\left(\begin{array}{cc}H_{n} & I \\ I & H_{n}\end{array}\right), n \geq 1$ ，其中 $I$ 是与 $H_{n}$ 同阶的单位方阵，则 $\operatorname{rank}\left(H_{4}\right)=$ $\_\_\_\_$ |
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解答题 |
（2） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+\tan x)-\ln (1+\sin x)}{x^{3}}=$ $\_\_\_\_$ |
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解答题 |
（3）设 $\Gamma$ 为空间曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\pi \sin (t / 2) \\ y=t-\sin t \\ z=\sin 2 t\end{array}, t: 0 \rightarrow \pi\right.$ ，则第二型曲线积分
$$
\int_{\Gamma} e^{\sin x}(\cos x \cos y \mathrm{~d} x-\sin y \mathrm{~d} y)+\cos z \mathrm{~d} z
$$
则为 $\_\_\_\_$ |
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解答题 |
（4）设二次型 $f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) A\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right)$ 的矩阵 $A$ 为 $\left(\begin{array}{ccccc}1 & a & a & \cdots & a \\ a & 1 & a & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a & \cdots & a & 1 & a \\ a & a & \cdots & a & 1\end{array}\right)$ ，其中 $n>1, a \in \mathbb{R}$ ，则 $f$ 在正交变换下的标准形为 $\_\_\_\_$
二、（本题15分）在空间直角坐标系下，设有椭球面
$$
S: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1, \quad a, b, c>0
$$
及 $S$ 外部一点 $A\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ ，过 $A$ 点且与 $S$ 相切的所有直线构成锥面 $\Sigma$ 。证明：存在平面 $\Pi$ ，使得交线 $S \cap \Sigma=S \cap \Pi$ ；同时求出平面 $\Pi$ 的方程．
三、（本题 15 分）设 $A, B, C$ 均为 $n$ 阶复方阵，且满足
$$
A B-B A=C, \quad A C=C A, \quad B C=C B
$$
（1）证明：$C$ 是幂零方阵；
（2）证明： $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 同时相似于上三角阵；
（3）若 $C \neq 0$ ，求 $n$ 的最小值．
四、（本题 20 分）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有二阶连续导函数，且 $f(0) f(1) \geq 0$ ．求证：
$$
\int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leq 2 \int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x
$$ |
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解答题 |
五、（本题10分）（抽象代数）设 $G$ 为群，且满足：$\forall x, y \in G,(x y)^{2}=(y x)^{2}$ ．证明： $\forall x, y \in G$ ，元素 $x y x^{-1} y^{-1}$ 的阶不超过 2 。 |
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解答题 |
六、（本题 10 分）（实变函数）设 $E \subset \mathbb{R}^{n}$ 为可测集满足 $m(E)<\infty$ 。设 $f, f_{k} \in L^{2}(E)$ ，在 $\boldsymbol{E}$ 上几乎处处有 $f_{k} \rightarrow f$ ，且
$$
\limsup _{k \rightarrow \infty} \int_{E}\left|f_{k}(t)\right|^{2} \mathrm{~d} t \leq \int_{E}|f(t)|^{2} \mathrm{~d} t<\infty
$$
求证：
$$
\lim _{k \rightarrow \infty} \int_{E}\left|f_{k}(t)-f(t)\right|^{2} \mathrm{~d} t=0
$$ |
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解答题 |
七、（本题 10 分）（微分几何）已知椭圆柱面 $S$ ：
$$
r(u, v)=\{a \cos u, b \sin u, v\}, \quad-\pi \leq u \leq \pi, \quad-\infty |
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解答题 |
八、（本题 10 分）（数值分析）推导求解线性方程组的共梯度法的计算格式，并证明该格式经有限步迭代后收玫。 |
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解答题 |
九、（本题 10 分）（复变函数）设函数 $f(z)$ 在单位圆 $|z|<1$ 内解析，在其边界上连续．若在 $|z|=1$ 上 $|f(z)|=1$ ．证明 $f(z)$ 为有理函数． |
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解答题 |
十、（本题10分）（概率统计）设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是独立同分布的随机变量，其有共同的分布函数 $F(x)$ 和密度函数 $f(x)$ ．现对随机变量 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 按大小顺序重新排列为 $X_{n 1} \leq X_{n 2} \leq \cdots \leq X_{n n}$
（1）求随机变量 $\left(X_{n 1}, X_{n n}\right)$ 的联合概率密度函数 $f_{1 n}(x, y)$ ；
（2）如果 $X_{i}(i=1,2, \cdots, n)$ 服从区间 $[0,1]$ 上的均匀分布，求随机变量 $U=X_{n n}+X_{n 1}$的密度函数 $f_{U}(u)$ ． |