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数学类_初赛 |
一、（本题15分）在空间直角坐标系中，设单叶双曲面 $\Gamma$ 的方程为 $x^{2}+y^{2}-z^{2}=1$ ．设 $P$为空间中的平面，它交 $\Gamma$ 于－抛物线 $C$ ．求该平面 $P$ 的法线与 $z-$ 轴的夹角． |
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数学类_初赛 |
二、（本题 15 分）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增数列，$a_{1}>1$ ．求证：级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+1}-a_{n}}{a_{n} \ln a_{n+1}}$ 收敛的充分必要条件是 $\left\{a_{n}\right\}$ 有界。又问级数通项分母中的 $a_{n}$ 是否可以换成 $a_{n+1}$ ？ |
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数学类_初赛 |
三、（本题15分）设 $\Gamma=\left\{W_{1}, W_{2}, \ldots, W_{r}\right\}$ 为 $r$ 个各不相同的可逆的 $n$ 阶复方阵构成的集合．若该集合关于矩阵乘法封闭（即 $\forall M, N \in \Gamma$ ，有 $M N \in \Gamma$ ）。证明：$\Sigma_{i=1}^{r} W_{i}=0$ 当且仅当 $\Sigma_{… |
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数学类_初赛 |
四、（本题 20 分）给定非零实数 $\boldsymbol{a}$ 及实 $\boldsymbol{n}$ 阶反对称矩阵 $\boldsymbol{A}$（即 $\boldsymbol{A}$ 的转置 $\boldsymbol{A}^{T}$ 等于一 $\boldsymbol{A}$ ）。记矩阵有序对集合 $T$ 为：$T=\left\{(X, Y) \mid X \in \mathbb{R}^… |
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六、（本题 20 分）设 $f(x)=1-x^{2}+x^{3}(x \in[0,1])$ ，计算以下极限并说明理由： |