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解答题 |
一、填空题（本题满分 30 分，每小题 6 分）
（1）设函数 $y=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\sqrt{1-a \sin ^{2} x}-b}{x^{2}}, & x \neq 0 \\ 2, & x=0\end{array}\right.$ 在点 $x=0$ 处连续，则 $a+b$ 的值为 $\_\_\_\_$ |
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解答题 |
（2）设 $a>0$ ，则 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{x^{2}+a^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ |
| 3 |
解答题 |
（3）设曲线 $L$ 是空间区域 $0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1,0 \leq z \leq 1$ 的表面与平面 $x+y+z =\frac{3}{2}$ 的交线，则 $\left|\oint_{L}\left(z^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(y^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} z\right|=$ $\_\_\_\_$ |
| 4 |
解答题 |
（4）设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $F(x-y, z)=0$ 确定，其中 $F(u, v)$ 具有连续二阶偏导数，则 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=$ $\_\_\_\_$ |
| 5 |
解答题 |
（5）已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}\right)^{2}$ ，则 $f$ 的规范形为－
二、（本题 12 分）设 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 内三阶连续可导，满足
$$
f(0)=0, f^{\prime}(0)=1, f^{\prime \prime}(0)=0, f^{\prime \prime \prime}(0)=-1 ;
$$
又设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足
$$
a_{1} \in(0,1), a_{n+1}=f\left(a_{n}\right)(n=1,2,3, \cdots),
$$
严格单调减少且 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ．计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}^{2}$ ．
三、（满分 12 分）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上具有连续导数，且
$$
|f(x)| \leq 1, f^{\prime}(x)>0, x \in(-\infty,+\infty)
$$
证明：对于 $0<\alpha<\beta$ ，成立 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{\alpha}^{\beta} f^{\prime}\left(n x-\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x=0$
四、（满分 12 分）计算三重积分 $\iiint_{\Omega} \frac{\mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z}{\left(1+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}$ ，其中，
$$
\Omega: 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1,0 \leq z \leq 1
$$
五、（满分 12 分）求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{7} \cdots \frac{n}{2 n+1} \cdot \frac{1}{n+1}$ 之和。 |
| 6 |
解答题 |
六、（满分 11 分）设 $A$ 是 $n$ 阶幂零矩阵，即满足 $A^{2}=O$ 。证明：若 $A$ 的秩为 $r$ ，且 $1 \leq r<\frac{n}{2}$ ，则存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P=\left(\begin{array}{lll}O & I_{r} & O \\ O & O & O\end{array}\right)$ ，其中 $I_{r}$ 为 $r$ 阶单位矩阵。 |
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解答题 |
七、（满分 11 分）设 $\left\{u_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 为单调递减的正实数列， $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0, ~\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ ，为一实数列，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} u_{n}$ 收玫，证明： $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\right) u_{n}=0$ |