| 1 |
解答题 |
（1）设 $\alpha \in(0,1)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left[(n+1)^{\alpha}-n^{\alpha}\right]=$ $\_\_\_\_$ ． |
| 2 |
解答题 |
（2）若曲线 $y=y(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t+\cos t \\ e^{y}+t y+\sin t=1\end{array}\right.$ 确定，则此曲线在 $t=0$ 对应点处的切线方程为 $\_\_\_\_$ ． |
| 3 |
解答题 |
（3） $\int \frac{\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{3 / 2}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ． |
| 4 |
解答题 |
（4） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x \sqrt{\cos 2 x} \sqrt[3]{\cos 3 x}}{x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ . |
| 5 |
解答题 |
二（本题满分 8 分）设函数 $f(t)$ 在 $t \neq 0$ 时一阶连续可导，且 $f(1)=0$ ，求函数 $f\left(x^{2}-y^{2}\right)$ ，使得曲线积分 $\int_{L} y\left[2-f\left(x^{2}-y^{2}\right)\right] \mathrm{d} x+x f\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} y$ 与路径无关，其中 $L$ 为任一不与直线 $y= \pm x$ 相交的分段光滑曲线． |
| 6 |
解答题 |
三（本题满分 14 分）设 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，且 $1 \leq f(x) \leq 3$ 。证明：
$$
1 \leq \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{1} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x \leq \frac{4}{3}
$$ |
| 7 |
解答题 |
四（本题满分 12 分）计算三重积分 $\iiint_{(V)}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} V$ ，其中 $(V)$ 是由
$$
x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2} \geq 4, x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2} \leq 9
$$
及 $z \geq 0$ 所围成的空间图形． |