第十六届非数学类初赛（A类）

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#题型题目
1 解答题 （本题 30 分，每小题 6 分） （1） $\int_{0}^{1} \ln \left(1+x^{2}\right) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ． （2）设 $D: x^{2}+y^{2} \leqslant r^{2}$ ，其中 $r>0$ ．则 $$ \lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\iint_{D}\left(\mathrm{e}^{x^{2}+y^{2}}-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{r^{4}}= $$ $\_\_\_\_$ ． （3）已知函数 $z=f\left(x y, \mathrm{e}^{x+y}\right)$ ，且 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数．则 $$ \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}= $$ $\_\_\_\_$ ． （4）直线 $L: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$ 在平面 $\pi: x-y+2 z-1=0$ 上的投影直线 $L_{0}$ 的单位方向向量为 $\_\_\_\_$。 （5）设 $L$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=9$ ，取逆时针方向，则第二型曲线积分 $$ \int_{L} \frac{-y}{4 x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x}{4 x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y= $$ $\_\_\_\_$ ． ##
2 解答题 求微分方程 $\left(x^{3}-y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2} y+\right. x y) \mathrm{d} y=0$ 的通解。 解法1．设 $u=y^{2}$ ，则原方程化为 $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=\frac{2 u}{x(1+x)}-\frac{2 x^{2}}{x+1}$ ． （6 分）这个线性方程的通解为 $$ \left(\frac{1+x}{x}\right)^{2} u+(1+x)^{2}=C $$ 即 $$ \left(\frac{1+x}{x}\right)^{2} y^{2}+(1+x)^{2}=C . $$ 解法2．原方程可化为 $$ x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y+y \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}}=0, $$ 即 $$ \frac{1}{2} \mathrm{~d}\left(x^{2}+y^{2}\right)+y \mathrm{~d}\left(\frac{y}{x}\right)=0 $$ 两边同时除以 $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ，得 $$ \frac{1}{2} \cdot \frac{\mathrm{~d}\left(x^{2}+y^{2}\right)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}}} \cdot \frac{y}{x} \cdot \mathrm{~d}\left(\frac{y}{x}\right)=0 $$ 即 $$ \mathrm{d}\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)+\mathrm{d}\left(\sqrt{1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}}\right)=0 $$ 故 $$ \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x}=C $$ 即 $$ (1+x) \sqrt{x^{2}+y^{2}}=C x $$ 解法3．将原方程化为 $x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y+y \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}}=0$ ，即 $$ \frac{1}{2} \mathrm{~d}\left(x^{2}+y^{2}\right)+y \mathrm{~d}\left(\frac{y}{x}\right)=0 $$ 令 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ，则 $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, \tan \theta=\frac{y}{x}$ ，方程化为 $$ \begin{gathered} \frac{1}{2} \mathrm{~d} r^{2}+r \sin \theta \mathrm{~d} \tan \theta=0 \\ \mathrm{~d} r+\sec \theta \tan \theta \mathrm{d} \theta=0 \end{gathered} $$ 积分得，$r+\sec \theta=C$ ． 换回原变量，得原方程的通解为 $$ \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x}=C $$ 姓名： $\_\_\_\_$ $\_\_\_\_$准考证号： $\_\_\_\_$ $\_\_\_\_$所在院校： $\_\_\_\_$密封线 答题时不要超过此线考场号： ◯ $\_\_\_\_$座位号： $\_\_\_\_$专业： | 得分 | | | :---: | :--- | | 评阅人 | |
3 解答题 （本题 14 分）设函数 $$ f(x)= \begin{cases}\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}, & 0
4 解答题 求曲面积分 $I=\iint_{S}\left(x^{2}-x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+$ | 得分 | | | :---: | :--- | | 评阅人 | | $\left(y^{2}-y\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{2}-z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 是上半球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}= R^{2}(z \geqslant 0)$ 的上侧．
5 解答题 设 $f(x)$ 是（ $-\infty,+\infty$ ）上具有连续导数的非负函数，且存在 $M>0$ 使得对任意的 $x, y \in (-\infty,+\infty)$ ，有 $\left|f^{\prime}(x)-f^{\prime}(y)\right| \leqslant M|x-y|$ 。证明：对于任意实数 $x$ ，恒有 $\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \leqslant 2 M f(x)$ 。
6 解答题 证明：级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{[\sqrt{n}]}}{n^{2}+k^{2}}$ 收玫，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。