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解答题 |
一、计算下列各题（共 20 分，每小题各 5 分）
（1）求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n-1}\left(1+\frac{k}{n}\right) \sin \frac{k \pi}{n^{2}}$ ． |
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解答题 |
（2）计算 $\iint_{\Sigma} \frac{a x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(z+a)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\sum$ 为下半球面 $z=-\sqrt{a^{2}-y^{2}-x^{2}}$ 的上侧， $\boldsymbol{a}$ 为大于 0 的常数． |
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解答题 |
（3）现要设计一个容积为 $\boldsymbol{V}$ 的一个圆柱体的容器．已知上下两底的材料费为单位面积 $\boldsymbol{a}$ 元，而侧面的材料费为单位面积 $b$ 元。试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？ |
| 4 |
解答题 |
（4）已知 $f(x)$ 在 $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$ 内满足 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{\sin ^{3} x+\cos ^{3} x}$ ，求 $f(x)$ ．
## 二、（共 10 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分）求下列极限：
（1） $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}-e\right]$ ；
（2） $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a^{1 / n}+b^{1 / n}+c^{1 / n}}{3}\right)^{n}$ ，其中 $a>0, b>0, c>0$ ．
三、（10 分）设 $f(x)$ 在 $x=1$ 点附近有定义，且在 $x=1$ 点可导，并已知 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=2$ ．求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\sin ^{2} x+\cos x\right)}{x^{2}+x \tan x}$ ．
四、（10分）设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，并且无穷积分 $\int_{0}^{\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛．求
$$
\lim _{y \rightarrow+\infty} \frac{1}{y} \int_{0}^{y} x f(x) \mathrm{d} x
$$ |
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解答题 |
五、（共12分）设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可微，且 $f(0)=f(1)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=1$ ．
证明：（1）存在一个 $\xi \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 使得 $f(\xi)=\xi$ ；
（2）存在一个 $\boldsymbol{\eta} \in(\mathbf{0}, \boldsymbol{\xi})$ 使得 $\boldsymbol{f}^{\prime}(\boldsymbol{\eta})=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{\eta})-\boldsymbol{\eta}+\mathbf{1}$ ． |
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解答题 |
六、（14 分）设 $n>1$ 为整数，$F(x)=\int_{0}^{x} e^{-t}\left(1+\frac{t}{1!}+\frac{t^{2}}{2!}+\ldots+\frac{t^{n}}{n!}\right) \mathrm{d} t$ 。证明：方程 $F(x)=\frac{n}{2}$ 在 $\left(\frac{n}{2}, n\right)$ 内至少有一个根． |
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解答题 |
七、（12 分）是否存在 $\mathbb{R}^{1}$ 中的可微函数 $f(x)$ 使得 $f(f(x))=1+x^{2}+x^{4}-x^{3}-x^{5}$ ？若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明． |
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解答题 |
八、（12 分）设 $f(x)$ 在 $[0, \infty)$ 上一致连续，且对于固定的 $x \in[0, \infty)$ ，当自然数 $n \rightarrow \infty$ 时 $f(x+n) \rightarrow 0$ ．证明函数序列 $\{f(x+n): n=1,2, \ldots\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛于 0 ． |