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解答题 |
（1）计算 $\iint_{D} \frac{(x+y) \ln \left(1+\frac{y}{x}\right)}{\sqrt{1-x-y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ －＇其中区域 $D$ 由直线 $x+y=1$ 与两坐标轴所围三角形区域。 |
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解答题 |
（2）设 $f(x)$ 是连续函数，满足 $f(x)=3 x^{2}-\int_{0}^{2} f(x) d x-2$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ． |
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解答题 |
（3）曲面 $z=\frac{x^{2}}{2}+y^{2}-2$ 平行平面 $2 x+2 y-z=0$ 的切平面方程是 $\_\_\_\_$ ． |
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解答题 |
（4）设 $y=y(x)$ 由方程 $x e^{f(y)}=e^{y} \ln 29$ 确定，其中 $f$ 具有二阶导数，且 $f^{\prime} \neq 1$ ，则 $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
第二题：（5 分）求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^{x}+e^{2 x}+\cdots+e^{n x}}{n}\right)^{\frac{e}{x}}$ ，其中 $n$ 是给定的正整数．
第三题：（15 分）设函数 $f(x)$ 连续，$g(x)=\int_{0}^{1} f(x t) \mathrm{d} t$ ，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=A, ~ A$ 为常数，求 $g^{\prime}(x)$ 并讨论 $g^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性．
第四题：（15 分）已知平面区域 $\boldsymbol{D}=\{(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \mid \mathbf{0} \leq \boldsymbol{x} \leq \pi, \mathbf{0} \leq \boldsymbol{y} \leq \pi\}, ~ \boldsymbol{L}$ 为 $\boldsymbol{D}$ 的正向边界，试
证：（1）$\oint_{L} x e^{\sin y} \mathrm{~d} y-y e^{-\sin x} \mathrm{~d} x=\oint_{L} x e^{-\sin y} \mathrm{~d} y-y e^{\sin x} \mathrm{~d} x$ ；
（2）$\oint_{L} x e^{\sin y} \mathrm{~d} y-y e^{-\sin x} \mathrm{~d} x \geq \frac{\mathbf{5}}{\mathbf{2}} \pi^{2}$ ． |
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解答题 |
第五题：（10 分）已知 $y_{1}=x e^{x}+e^{2 x}, y_{2}=x e^{x}+e^{-x}, y_{3}=x e^{x}+e^{2 x}-e^{-x}$ 是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程． |
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解答题 |
第六题：（10 分）设抛物线 $y=a x^{2}+b x+2 \ln c$ 过原点，当 $0 \leq x \leq 1$ 时，$y \geq 0$ ，又已知该抛物线与 $x$ 轴及直线 $x=1$ 所围图形的面积为 $\frac{1}{3}$ 。试确定 $a, b, c$ 使此图形绕 $x$ 轴旋转一周而成的旋转体的体积 $\boldsymbol{V}$ 最小。 |
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解答题 |
第七题：（15 分）已知 $u_{n}(x)$ 满足 $u_{n}{ }^{\prime}(x)=u_{n}(x)+x^{n-1} e^{x}$（ $n$ 为正整数），且 $u_{n}(1)=\frac{e}{n}$ ，求函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 之和． |
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解答题 |
第八题：（10分）求 $x \rightarrow 1$－时，与 $\sum^{\infty} x^{n^{2}}$ 等价的无穷大量 |