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解答题 |
一、计算题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
（1） $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{1-\cos x}}$ ． |
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解答题 |
（2） $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n}\right)$ ． |
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解答题 |
（3）已知 $\left\{\begin{array}{l}x=\ln \left(1+e^{2 t}\right) \\ y=t-\arctan e^{t}, \mathrm{~s}^{2} \frac{\mathrm{~d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\end{array}\right.$ ．
二、（本题 10 分）求方程 $(2 x+y-4) \mathrm{d} x+(x+y-1) \mathrm{d} y=0$ 的通解．
三、（本题 15 分）设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内有二阶连续导数，且 $f(0), f^{\prime}(0), f^{\prime \prime}(0)$ 均不为零。证明：存在唯一一组实数 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ ，使得
$$
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{k_{1} f(h)+k_{2} f(2 h)+k_{3} f(3 h)-f(0)}{h^{2}}=0 .
$$ |
| 4 |
解答题 |
四、（本题 17 分）设 $\Sigma_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ ，其中 $a>b>c>0, ~ \Sigma_{2}: z^{2}=x^{2}+y^{2}$ ，
$\Gamma$ 为 $\Sigma_{1}$ 和 $\Sigma_{2}$ 的交线．求椭球面 $\Sigma_{1}$ 在 $\Gamma$ 上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值． |
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解答题 |
五、（本题16分）已知 $\Sigma$ 是空间曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+3 y^{2}=1 \\ z=0\end{array}\right.$ 绕着 $y$ 旋转而成的椭球面，$S$ 表示曲面 $\Sigma$ 的上半部分 $(z \geq 0), \Pi$ 是椭球面 $S$ 在 $P(x, y, z)$ 点处的切平面，$\rho(x, y, z)$ 是原点到切平面 $\Pi$ 的距离，$\lambda, \mu, \nu$ 表示 $S$ 的外法线的方向余弦．
1）计算 $\iint_{S} \frac{z}{\rho(x, y, z)} \mathrm{d} S$ ；
2）计算 $\iint_{S} z(\lambda x+3 \mu y+\nu z) \mathrm{d} S$ ，其中 $\Sigma$ 为外侧． |
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解答题 |
六、（本题 12 分）设 $f(x)$ 是在 $(-\infty,+\infty)$ 内的可微函数，且满足 $(1) f(x)>0$ ； （2）$\left|f^{\prime}(x)\right| \leq m f(x)$ ，其中 $0 |
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解答题 |
七、（本题 15 分）问：在区间 $[0,2]$ 上是否存在连续可微的函数 $f(x)$ ，满足
$$
f(0)=f(2)=1,\left|f^{\prime}(x)\right| \leq 1,\left|\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x\right| \leq 1 ?
$$
请说明理由． |