| 1 |
解答题 |
（1）设 $x_{n}=(1+a) \cdot\left(1+a^{2}\right) \cdots\left(1+a^{2^{n}}\right)$ ，其中 $|a|<1$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ． |
| 2 |
解答题 |
（2）求 $\lim _{x \rightarrow \infty} e^{-x}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$ ． |
| 3 |
解答题 |
（3）设 $s>0$ ，求 $I_{n}=\int_{0}^{+\infty} e^{-s x} x^{n} \mathrm{~d} x(n=1,2, \cdots)$ ． |
| 4 |
解答题 |
（4）设 $f(t)$ 有二阶连续导数，$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, ~ g(x, y)=f\left(\frac{1}{r}\right)$ ，求 $\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}$ ． |
| 5 |
解答题 |
（5）求直线 $l_{1}:\left\{\begin{array}{l}x-y=0 \\ z=0\end{array}\right.$ 与直线 $l_{2}: \frac{x-2}{4}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-3}{-1}$ 的距离．
第二题：（15 分）设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上具有二阶导数，并且
$$
f^{\prime \prime}(x)>0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=\alpha>0, \lim _{x \rightarrow-\infty} f^{\prime}(x)=\beta<0
$$
且存在一点 $x_{0}$ ，使得 $f\left(x_{0}\right)<0$ ．证明：方程 $f(x)=0$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 恰有两个实根．
第三题：（15 分）设 $y=f(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{c}x=2 t+t^{2} \\ y=\psi(t)\end{array}(t>-1)\right.$ 所确定．且 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{3}{4(1+t)}$ ，其中 $\psi(t)$具有二阶导数，曲线 $y=\psi(t)$ 与 $y=\int_{1}^{t^{2}} e^{-u^{2}} \mathrm{~d} u+\frac{3}{2 e}$ 在 $t=1$ 处相切．求函数 $\psi(t)$ ．
第四题：（15 分）设 $a_{n}>0, S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ，证明：（1）当 $\alpha>1$ 时，级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}^{\alpha}}$ 收玫；（2）当 $\alpha \leq 1$ ，且 $S_{n} \rightarrow \infty(n \rightarrow \infty)$ 时，$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}^{\alpha}}$ 发散。
第五题：（15 分）设 $l$ 是过原点、方向为 $(\alpha, \beta, \gamma)$（其中 $\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=1$ ）的直线，均匀椭球 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1$（其中 $0 |
| 6 |
解答题 |
第六题：（15 分）设函数 $\varphi(x)$ 具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线 $C$ 上，曲线积分 $\oint_{C} \frac{2 x y \mathrm{~d} x+\varphi(x) \mathrm{d} y}{x^{4}+y^{2}}$ 的值为常数．
（1）设 $L$ 为正向闭曲线 $(x-2)^{2}+y^{2}=1$ ．证明：$\oint_{L} \frac{2 x y \mathrm{~d} x \quad \varphi(x) \mathrm{d} y}{x^{4}+y^{2}}=0$ ；
（2）求函数 $\varphi(x)$ ；（3）设 $C$ 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求 $\oint_{C} \frac{2 x y \mathrm{~d} x+\varphi(x) \mathrm{d} y}{x^{4}+y^{2}}$ ． |