| 1 |
解答题 |
一、计算题（本题共 5 小题，每题 6 分，共 30 分）
1． $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{2} x-x^{2} \cos ^{2} x}{x^{2} \sin ^{2} x}$ ．
2． $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\left(x^{3}+\frac{x}{2}-\tan \frac{1}{x}\right) e^{\frac{1}{x}}-\sqrt{1+x^{6}}\right]$ ．
3．设函数 $f(x, y)$ 有二阶连续偏导数，满足 $f_{y} \neq 0$ 且
$$
{f_{x}}^{2} f_{y y}-2 f_{x} f_{y} f_{x y}+f_{y}{ }^{2} f_{x x}=0,
$$
$y=y(x, z)$ 是由方程 $z=f(x, y)$ 所确定的函数，求 $\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}$ ．
4．求不定积分 $I=\int\left(1+x-\frac{1}{x}\right) e^{x+\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x$ ．
5．求曲面 $x^{2}+y^{2}=a z$ 和 $z=2 a-\sqrt{x^{2}+y^{2}}(a>0)$ 所围立体的表面积． |
| 2 |
解答题 |
二、（本题 13 分）讨论 $\int_{0}^{+\infty} \frac{x}{\cos ^{2} x+x^{\alpha} \sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ 的玫散性，其中 $\alpha$ 是一个实常数． |
| 3 |
解答题 |
三、（本题 13 分）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上无穷次可微，并且满足：存在 $M>0$ ，使得
$$
\left|f^{(k)}(x)\right| \leq M, \forall x \in(-\infty,+\infty)(k=1,2, \cdots) \text { 且 } f\left(\frac{1}{2^{n}}\right)=0,(n=1,2, \cdots) .
$$
求证：在 $(-\infty,+\infty)$ 上 $f(x) \equiv 0$ ． |
| 4 |
解答题 |
四、（本题共 16 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 10 分）设 $D$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leq a(a>b>0)$ ，面密度为 $\rho$ 的均质薄板；$l$ 为通过椭圆焦点 $(-c, 0)$（其中 $c^{2}=a^{2}-b^{2}$ ）垂直于薄板的旋转轴．
（1）求薄板 $\boldsymbol{D}$ 绕 $l$ 旋转的转动惯量 $\boldsymbol{J}$ ；
（2）对于固定的转动惯量，讨论椭圆薄板的面积是否有最大值和最小值． |
| 5 |
解答题 |
五、（本题 12 分）设连续可微函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $F(x z-y, x-y z)=0$（其中 $F(u, v)$
有连续偏导数）唯一确定， $\boldsymbol{L}$ 为正向单位圆周，试求：
$$
I=\oint_{L}\left(x z^{2}+2 y z\right) \mathrm{d} y-\left(2 x z+y z^{2}\right) \mathrm{d} x
$$
## |
| 6 |
解答题 |
六、（本题共 16 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 10 分）
（1）求解微分方程 $\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-x y=x e^{x^{2}}, \\ y(0)=1 .\end{array}\right.$
（2）如 $y=f(x)$ 为上述方程的解，证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{n f(x)}{n^{2} x^{2}+1} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2}
$$ |