| 1 |
解答题 |
（1） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{2}{x}}-e^{2}(1-\ln (1+x))}{x}$ ． |
| 2 |
解答题 |
（2）设 $a_{n}=\cos \frac{\theta}{2} \cdot \cos \frac{\theta}{2^{2}} \cdots \cdot \cos \frac{\theta}{2^{n}}$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ ． |
| 3 |
解答题 |
（3）求 $\iint_{D} \operatorname{sgn}(x y-1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 2\}$ ． |
| 4 |
解答题 |
（4）求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{n}} x^{2 n-2}$ 的和函数，并求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{2 n-1}}$ 的和。
第二题：（本题两问，每问8分，共16分）设 $\left\{a_{n}\right\}_{n=0}^{\infty}$ 为数列，$a, \lambda$ 为有限数，求证：
1．如果 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}=a$ ；
2．如果存在正整数 $p$ ，使得 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+p}-a_{n}\right)=\lambda$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{n}=\frac{\lambda}{p}$ 。
第三题：（15 分）设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[-1,1]$ 上具有连续的三阶导数，且 $f(-1)=0$ ， $f(1)=1, f^{\prime}(0)=0$ ，求证：在开区间 $(-1,1)$ 内至少存在一点 $x_{0}$ ，使得 $f^{\prime \prime \prime}\left(x_{0}\right)=3$ ．
第四题：（15 分）在平面上，有一条从点 $(a, 0)$ 向右的射线，线密度为 $\rho$ 。在点 $(0, h)$ 处（其中 $\boldsymbol{h}>\mathbf{0}$ ）有一质量为 $m$ 的质点。求射线对该质点的引力。 |
| 5 |
解答题 |
第五题：（15 分）设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $F\left(z+\frac{1}{x}, z-\frac{1}{y}\right)=0$ 确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导数，求证：
$$
x^{2} \frac{\partial z}{\partial x}-y^{2} \frac{\partial z}{\partial y}=1 \text { 和 } x^{3} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+x y(x-y) \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}-y^{3} \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}+2=0 \text {. }
$$ |
| 6 |
解答题 |
第六题：（15 分）设函数 $f(x)$ 连续，$a, b, c$ 为常数，$\Sigma$ 是单位球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 。记第一型曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma} f(a x+b y+c z) \mathrm{d} S
$$
求证：$I=2 \pi \int_{-1}^{1} f\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} u\right) \mathrm{d} u$ ． |