| 1 |
解答题 |
一、简答下列各题（本题 25 分）
1、计算 $\lim _{x \rightarrow 0+}\left[\ln (x \ln a) \cdot \ln \left(\frac{\ln a x}{\ln (x / a)}\right)\right],(a>1)$ ．
2、设 $f(u, v)$ 具有连续偏导数，且满足 $f_{u}(u, v)+f_{v}(u, v)=u v$ ，求 $y(x)=e^{-2 x} f(x, x)$ 所满足的一阶微分方程，并求其通解。
3、求在 $[0,+\infty)$ 上的可微函数 $f(x)$ ，使 $f(x)=e^{-u(x)}$ ，其中 $u=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．
4、计算不定积分 $\int x \arctan x \ln \left(1+x^{2}\right) \mathrm{d} x$ ．
5、过直线 $\left\{\begin{array}{l}10 x+2 y-2 z=27, \\ x+y-z=0\end{array}\right.$ 作曲面 $3 x^{2}+y^{2}-z^{2}=27$ 的切平面，求此切平面的方程。 |
| 2 |
解答题 |
二、（本题15分）设曲面 $\Sigma: z^{2}=x^{2}+y^{2}, 1 \leq z \leq z$ ，其面密度为常数 $\rho$ ．求在原点处的质量为 1 的质点和 $\Sigma$ 之间的引力（记引力常数为 $G$ ）． |
| 3 |
解答题 |
三、（本题 15 分）设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 连续可导，
$$
f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+f^{2}(x)}\left[\sqrt{\frac{1}{x}}-\sqrt{\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}\right],
$$
证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在． |
| 4 |
解答题 |
四、（本题 15 分）设函数 $f(x)$ 在 $[-2,2]$ 上二阶可导，且 $|f(x)|<1$ ，又 $f^{2}(0)+\left[f^{\prime}(0)\right]^{2}=4$ ．试证在 $(-2,2)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得 $f(\xi)+f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ． |
| 5 |
解答题 |
五、（本题 15 分）求二重积分 $I=\iint_{x^{2}+y^{2} \leq 1}\left|x^{2}+y^{2}-x-y\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。 |
| 6 |
解答题 |
六、（本题 15 分）若对于任何收敛于零的序列 $\left\{x_{n}\right\}$ ，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x_{n}$ 都是收敛的，试证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|$ 收玫。 |